Question

求f(x)=ln(x+根号1+x^2)的麦克劳林级数，求高手帮帮忙，万分感激

Answer 1

f(x)=的导数是1/根号(1+x^2)
导数的麦克劳林级数为1-1/2*x^2+3/8*x^4-5/16*x^6+35/128*x^8-63/256*x^10+231/1024*x^12-429/2048*x^14+6435/32768*x^16-12155/65536*x^18+。。。。。。。
通项公式为 (-1)^m*(2m-1)!!/[2^m*m!] *x^2m （第2项开始）
f(0)=0
将导数的麦克劳林级数积分即可
x-1/6*x^3+3/40*x^5-5/112*x^7+35/1152*x^9-63/2816*x^11+231/13312*x^13-143/10240*x^15+6435/557056*x^17-12155/1245184*x^19+。。。。
通项公式为 (-1)^m*(2m-1)!!/[2^m*m!*（2m+1）] *x^（2m +1）

追问

f(x)的倒数为什么是那个啊，怎么我求了之后对不上呢，怎化简都没办法啊，您帮我看看那

追答

ok

Answer 2

Sigma_(n=0)^(infinity) (((-1)^n (2n-1)!!)/((2n+1)(2n)!!))x^(2n+1)

追问

求过程啊，我们有答案没过程啊

追答

有很多种方法，一般用已知级数代入就行了
y'=1/√(1+x^2)
(-1<x<1)
(1+x)^(1/2)=1-1/2*x+(-1/2)*(-3/2)*1/2!*x^2+...+(-1/2)*(-3/2)...(-1/2-n+1)/n!*x^n+...
=1+∑[1,∞](-1)^n*(2n-1)!/n!*1/2^(2n-1)*x^n

x代入x^2，(-1<x<1)
y'=1/√(1+x^2)
=1+(1,∞)∑[1,∞](-1)^n*(2n-1)!/n!*1/2^(2n-1)*x^(2n)

积分∫[0,x]1/√(1+x^2)dx=∫[0,x]{1+(1,∞)∑[1,∞](-1)^n*(2n-1)!/n!*1/2^(2n-1)*x^(2n)}dx
y=ln[x+√(1+x^2)]=x+(1,∞)∑[1,∞](-1)^n*(2n-1)!/n!*1/2^(2n-1)*x^(2n+1)/(2n+1)
(-1<x<1)