Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是（-1，3），其最值为-2分之3

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是（-1，3），其最值为-2分之3.(1)确定抛物线的解析式(2)确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。【要答案和计算过程】

Answer 1

解：抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为（ - 1,0） （3,0）
由抛物线的对称性知：其对称轴为直线 x = 1
故该抛物线的顶点为（1， - 3/2）
（1） 设y=ax²+bx+c
= a（x + 1）（x - 3）
将x = 1时，y = - 3/2代入得
a = 3 / 8
故所求解析式为 y = 3 / 8x² - 3/4x - 9/8
（2）抛物线y = 3 / 8x² - 3/4x - 9/8
开口方向： 向上
对称轴： 直线x = 1
顶点坐标：（1， - 3/2）

Answer 2

因为抛物线与x轴的两个交点的横坐标是（-1，3），所以这两个交点的坐标是（-1,0）和（3,0）
所以由抛物线的对称性知，其对称轴为直线x =（-1+3）/2=1 （两个和x轴交点的横坐标之和除以2就是对称轴）
因其最值为-2分之3，所以抛物线的顶点坐标为（1， - 3/2）
第一种做法：设一般式y=ax²+bx+c然后把这三点代入抛物线中：
0=a-b+c, 0=9+3b+c, - 3/2=a+b+c
解得a= 2 / 3 b= -4/3 c= - 8/3
所以 解析式为 y = 2/ 3x² - 4/3x - 8/3
因为a＞0,所以 抛物线开口向上。

第二种方法：设抛物线的顶点式：y=a(x-h)²+k
抛物线的顶点为（1， - 3/2），所以y=a(x-1)²-3/2， 再把（-1,0）和（3,0）任意一点带入抛物线中，得0=a(-1-1)²-3/2，解得a=2 / 3 ,所以 解析式为y=2 / 3(x-1)²-3/2
抛物线开口向上,顶点坐标为（1， - 3/2）