Question

∫dx/((x^2+1)(x^2+x)

Answer 1

∫dx/((x^2+1)(x^2+x)的不定积分是ln│x│-(1/2)ln│x+1│-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C。

解：

∫dx/((x^2+1)(x^2+x)dx

=∫[1/x-(1/2)/(x+1)-(x/2)/(x²+1)-(1/2)/(x²+1)]dx

=ln│x│-(1/2)ln│x+1│-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C

所以∫dx/((x^2+1)(x^2+x)的不定积分是ln│x│-(1/2)ln│x+1│-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C。

扩展资料：

1、分部积分法的形式

（1）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

（2）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（3）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。

例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

2、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C

Answer 2

设1/(x^2+1)(x^2+x）=（Ax+B)/(x^2+1)+C/(x+1)+D/x,
用待定系数法解之，得：A=-1/2,B=-1/2,C=-1/2,D=1,
原式=（-1/2）∫ （x+1)dx/(x^2+1)-(1/2) ∫dx/(x+1)+ ∫dx/x
=(-1/4)∫ d(x^2+1)/(x^2+1)-(1/2)∫ dx/(x^2+1)-(1/2) ∫dx/(x+1)+ ∫dx/x
=-(1/4)ln(x^2+1)-(1/2)arctanx-1/2ln|x+1|+ln|x|+C.

Answer 3

∫dx/((x^2+1)(x^2+x)dx=
∫[1/x-(1/2)/(x+1)-(x/2)/(x²+1)-(1/2)/(x²+1)]dx
=ln│x│-(1/2)ln│x+1│-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C