Question

求解几道高数题

1.设f(u)具有二阶连续导数，而Z=f(e^xsiny)，满足δ²Z/δx²+δ²Z/δy²=Ze^2x
求f(u)。
2.求平面Z=x^2+y^2+1上点M(1,-1,3)的切平面与曲面Z=x^2+y^2所围成的空间区域的体积。
3.设f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在[a,b]上存在且可积,f(a)=f(b)=0,试证：
2|f(x)|≤∫|f(x)'|dx ,(积分域为[a,b])
4.已知y'=(y^2-2xy+x^2)/(y^2+2xy-2x^2),y(1)=-1 求通解（主要是化为齐次后积分积不出来）

Answer 1

解答1题：
可以推出，满足等式δ²Z/δx²+δ²Z/δy²=Ze^2x就是满足f″=f
解微分方程y″=y的通解为y=C1e^u+ C2e^(-u)
所以f(u)=C1e^(e^xsiny)+C2e^(-e^xsiny)。

解答2题：
可以求出曲面Z=x^2+y^2+1上点M(1,-1,3)的切平面方程为z=2x-2y-1★
把★和Z=x^2+y^2联列，解出交线(x-1)^2+(y+1)^2=1★★
把★★和Z=0联列，就是交线在xoy面的投影曲线，也就是围成的空间区域在xoy面的投影的边界线，也就是求体积时二重积分的积分区域D的边界线
则体积V=∫∫(D上)[切平面2x-2y-1 - 曲面x^2+y^2]dxdy
上述二重积分用换元法得到∏/2。

解答3题：
2|f(x)|=|f(x)-f(a)|+|f(x)-f(b)|=|∫(a到x)f′(t)dt|+|∫(x到b)f′(t)dt|
≤∫(a到x)|f′(t)|dt+∫(x到b)|f′(t)|dt=∫(a到b)|f′(t)|dt。

解答4题：
化为齐次后，是有理函数的积分，按照有理函数的积分方法可以积出来。

以上都是简答，有哪个地方需要详答可以再细化。

另，2题中Z=x^2+y^2+1是曲面不是平面
4题中有条件y(1)=-1，应该是求特解, 不是求通解吧？

追问

恩，第2题写错，第4题是求特解，但特解也需要通解嘛。就是化为有理函数后卡住了，请教您。