Question

已知：如图8，直线y ＝－x＋12交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB沿某直线折叠，使点A落在OB的中

Answer 1

第一个问题：
令y＝－x＋12中的x＝0，得：y＝12。　再令y＝－x＋12中的y＝0，得：x＝12。
∴OA＝12、　OB＝12。　∴容易得出：AB＝12√2。

设AE＝m，则：BE＝12√2－m。
过E作EF⊥OB交OB于F。　容易证出△FEB∽△OAB，　∴EF＝BF＝BE/√2＝12－m/√2。
∵CE是AE经折叠而得到的，　∴CE＝AE＝m。
又C是OB的中点，∴BC＝6。

一、当F在B、C之间时，CF＝BC－BF＝6－（12－m/√2）＝m/√2－6，
　　由勾股定理，有：CF^2＋EF^2＝CE^2，　∴（m/√2－6）^2＋（12－m/√2）^2＝m^2，
　　∴m^2/2－12m/√2＋36＋144－24m/√2＋m^2/2＝m^2，
　　∴36m/√2＝180，　∴m＝5√2。
　　但CF＝m/√2－6＝5－6＝－1，这显然是不合理的，　∴点F不可能在B、C之间。

二、当F与C重合时，EF＝CE，　∴12－m/√2＝m，　∴√2m＋m＝12√2，
　　∴m＝12√2/（√2＋1）＝12√2（√2－1）＝24－12√2，
　　但此时显然有：BC＝CE＝24－12√2，而BC＝6，　∴F与C重合是不可能的。

三、只能是F落在O、C之间，此时CF＝BF－BC＝（12－m/√2）－6＝6－m/√2。
　　由勾股定理，有：CF^2＋EF^2＝CE^2，　∴（6－m/√2）^2＋（12－m/√2）^2＝m^2，
　　∴m^2/2－12m/√2＋36＋144－24m/√2＋m^2/2＝m^2，
　　∴36m/√2＝180，　∴m＝5√2。

综上所述，得：AE＝5√2。

第二个问题：
过C作CG⊥BE交BE于G。
由三角形面积计算公式，有：△BCE的面积＝（1/2）BC×EF＝（1/2）BE×CG，
∴CG＝BC×EF/BE＝6×［12－（5√2）/√2］/（12√2－5√2）＝6×7/（7√2）＝6/√2。
∴sin∠BEC＝CG/CE＝（6/√2）/AE＝（6/√2）/（5√2）＝3/5。

第三个问题：
∵CD是由AD经折叠而得到的，　∴CD＝AD。
由勾股定理，有：OC^2＋OD^2＝CD^2　∴36＋（12－CD）^2＝CD^2，
∴36＋144－24CD＋CD^2＝CD^2，　∴CD＝180/24＝15/2。
∴△CDE的面积＝（1/2）CD×CEsin∠DCE＝（1/2）×（15/2）×（5√2）sin45°＝75/4。

Answer 2

(1)由直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点
可得OB=12 OA=12 △OAB是等腰直角三角形
因为C是OB的中点
所以BC=6 BE=AB-AE=12√2-AE=12√2-CE
在△BCE中运用余弦定理
BC^2+BE^2-CE^2=2BC*BEcosB
即36+(12√2-CE)^2-CE^2=12*(12√2-CE)cos45
可解得CE=5√2
cos∠BEC=(BE^2+CE^2-BC^2)/2BE*CE=4/5
所以sin∠BEC=3/5

(2)S△CDE=1/2*CD*CE*sin∠DCE
OD=OA-CD=12-CD
在△OCD中运用勾股定理
OC^2+OD^2=CD^2
即36+(12-CD)^2=CD^2
解得CD=15/2
所以S△CDE=1/2*CD*CE*sin∠DCE
=1/2*15/2*5√2*sin45°
=75/4