Question

判断级数 ∑(n!/n^n)的敛散性

Answer 1

你好！

用比值判别法：
lim<n→∞> [(n+1)! / (n+1)^(n+1)] / (n! / n^n)
=lim<n→∞> [n/(n+1)]^n
=lim<n→∞> [1 - 1/(n+1)] ^n
= 1/e <1
故原级数收敛。

追问

=lim [1 - 1/(n+1)] ^n
= 1/e [1 - 1/(n+1)] ^n+1吧？

追答

是n次方没错。

正项级数比值判别法：lim a / a = ρ
ρ1发散，ρ=1不确定

本题ρ=1/e<1，所以收敛

追问

我的意思是1/e是怎么来的

追答

令t= -(n+1)
原式 = lim [ (1+1/t)^t ] ^(-1) · (1+1/t)^-1
= 1/e

追问

还是不懂。
谢谢，我理解下。