Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,等式f（x+1)=f(x)+x+1恒成立。若f(-1)=-1求f(x)的表达式

Answer 1

f(x+1)=a(x+1)²汪侍滑+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
f(x+1)=f(x)+x+1
所以 2a+b=b+1 a=1/2
a+b+c=c+1 a+b=1 b=1/2
f(x)=x²/困腊2+x/2+c
f(-1)=1/2-1/2+c=-1 c=-1
所谈顷以f(x)=x²/2+x/2-1

Answer 2

在 f(x+1)=f(x)+x+1 中，取 x=-1 ，则 f(0)=f(-1)-1+1，所以 f(0)=f(-1)=-1，
取 x=0 ，则 f(1)=f(0)+1=0，

由此得 f(-1)=a-b+c=-1 (1)
f(0)=c=-1 (2)
f(1)=a+b+c=0 (3)
由(1)(2)(3)解得 a=1/2，b=1/2，手含则c=-1 ，毕棚
所以老辩，f(x)=1/2*x^2+1/2*x-1 。