Question

已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证...

已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证:直线MN经过定点(1,0)

Answer 1

设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设AP：y=t6(x+2)，（6分）
和圆x2+y2=4联立，得到y=
t6(x+2)x2+y2=4​，
代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x1，y1），所以-2，x1是方程的两个根，
所以有-2x1=
4t2-144t2+36，x1=
72-2t2t2+36，（8分）
代入直线方程y=
t6(x+2)得，y1=
t6(
72-2t2t2+36+2)=
24tt2+36．（9分）
同理，设BP：y=
t2(x-2)，联立方程有y=
t2(x-2)x2+y2=4​，
代入消元得到（4+t2）x2-4t2x+4t2-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，2x2=
4t2-16t2+4，x2=
2t2-8t2+4，
代入y=
t2(x-2)得到y2=
t2(
2t2-8t2+4-2)=
-8tt2+4．（11分）
若x1=1，则t2=12，此时x2=
2t2-8t2+4=1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，
所以有kMQ=
y1-0x1-1=
24tt2+3672-2t2t2+36-1=
8t12-t2，kNQ=
y2-0x2-1=
-8tt2+42t2-8t2+4-1=
-8tt2-12（13分）
所以kMQ=kNQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）

Answer 2

问题补充：已知圆O：x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点 1）若从P到所以P在x轴上即P（4，0） 所以劣弧所对应的圆心角是120度 接下来用公式

Answer 3

饿

Answer 4

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