Question

如图,在直角三角形ABC中,角ABC=90度,将直角三角形ABC绕点C顺时针方向旋转60度得到三角形DEC，

点E在AC上，再将直角三角形ABC沿着AB所在直线翻转180度得到三角形ABF，连接AD。
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

Answer 1

证明：（1）Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到

∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°

∴△ACD是等边三角形，

∴AD=DC=AC

又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到

∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°

∴∠FBC是平角

∴点F、B、C三点共线

∴△AFC是等边三角形

∴AF=FC=AC

∴AD=DC=FC=AF

∴四边形AFCD是菱形，

（2）四边形ABCG是矩形。

证明：△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E

∴AE=EC

∵AG‖BC

∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC

∴△AEG≌△CEB

∴AG=BC

∴四边形ABCG是平行四边形，而∠ABC=90°。

特殊性质

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)。

2、在直角三角形中，两个锐角互余。若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

Answer 2

证明：（1）Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，
∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=DC=AC（1分）
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到
∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°
∴∠FBC是平角
∴点F、B、C三点共线（2分）
∴△AFC是等边三角形
∴AF=FC=AC（3分）
∴AD=DC=FC=AF
∴四边形AFCD是菱形．（4分）

（2）四边形ABCG是矩形．（5分）
证明：由（1）可知：△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E
∴AE=EC（6分）
∵AG‖BC
∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC
∴△AEG≌△CEB
∴AG=BC（7分）
∴四边形ABCG是平行四边形，而∠ABC=90°（8分）

Answer 3

（1）角ACD=角ACB=角F=角FAC=60°，证一下ACD是等边三角形，得角CAD=60°，然后用一下等边和60°的特殊直角三角形可得四边相等，两边平行，得证
（2）矩形
证一下BEC是等边，再证AEG是等边，用下直角三角形斜边中点和60°特殊直角三角形，得CE=AE=BE=EG，AB不等于BC，所以得证

Answer 4

1）由旋转60°得到AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，△ACD是等边三角形
∴AD=DC=AC，又∵翻转180°，易证△AFC是等边三角形，
∴AD=DC=FC=AF
∴四边形AFCD是菱形
（2）四边形ABCG是矩形
由（1）知△ACD是等边三角形，DE⊥AC与E
∴AE=EC，易证△AEG≌△CEB
∴AG=BC
∴ABCG是平行四边形，且∠ABC=90°
∴四边形ABCG是矩形．

Answer 5

图？

追答

（1）因为三角形DEC是直角三角形ABC绕点C顺时针方向旋转60度得到的 所以角ACD=60度 角ACB=60度 AC=DC 所以三角形ACD为等腰三角形 所以角CAD=角ADC=1/2(180度-60度）=60度 所以三角形ACD为等边三角形 所以AD=AC 因为角DAC=角ACB=60度 所以AD∥FC 因为三角形ABF是直角三角形ABC沿着AB所在直线翻转180度得到的 又因为角ACF=60度 所以角FAC=60度 又因为角ACD=60度 所以角FAC=角ACD 所以AF∥CD 又因为AD∥FC 所以四边形AFCD为平行四边形
又因为AD=DC 所以四边形AFCD是菱形
（2）先证明三角形BEC与三角形AEG为等边三角形，然后得出AE=EC GE=BE 就OK了