Question

已知直线l:x+2y-3=0与圆C:X²+y²+x-2ay+a=0 相交于A、B两点，且O为原点，若OA⊥OB，求a的值？ 请

Answer 1

将 x=3-2y 代入圆的方程得 (3-2y)^2+y^2+(3-2y)-2ay+a=0，
化简得 5y^2-(2a+14)y+(a+12)=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 判别式=(2a+14)^2-20(a+12)>0， (1)
且 y1+y2=(2a+14)/5，y1*y2=(a+12)/5，
所以 x1*x2=(3-2y1)*(3-2y2)=4y1*y2-6(y1+y2)+9，
由于 OA丄OB，所以 x1*x2+y1*y2=0，
也就是 5y1*y2-6(y1+y2)+9=0，
所以 (a+12)-6(2a+14)/5+9=0，
5(a+12)-6(2a+14)+45=0，
-7a+21=0，
因此，a=3 ，且满足（1）。