Question

一道高二数学例题（含有绝对值的不等式）：

我们知道，当 a ＞0 时，
| x | ＜ a ⇔ －a ＜ x ＜ a ，
| x | ＞a ⇔ x ＞ a ，或 x ＜－ a 。
根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质：
| a | － | b | ≤ | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b |。
现证明这个性质：
证明： ∵ － | a | ≤ a ≤ | a |，
－ | b | ≤ b ≤ | b |，
∴ －（| a | ＋| b | ）≤ a ＋b ≤ | a | ＋| b | ，
即
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | 。 ①
又
a ＝ a ＋b －b ，| －b | ＝ | b |，
所以由①得
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|，
即
| a | － | b | ≤ | a ＋b |。 ②
由① ,② 得
| a | － | b | ≤ | a ＋b | ≤ | a | ＋| b | 。
现在的问题是：该证明题的后半部分推导过程中，从
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | 。 ①
到这一步 | a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b| 是怎么来的？求详细推导过程。谢谢朋友们了，麻烦大家将答案写的尽可能详细一点，看明白后即刻采纳。

Answer 1

证明：在数轴上，熟知二个实数的代数和小于等于它们的绝对值和
即a+b<=|a|+|b|
∴ |a+b|≤|a|+|b| ①成立
∵ a=a+b-b，|-b|=|b|
所以由①得|a|=|(a+b)+(-b)|<= |a+b|+|-b|
即|a|<= |a+b|+|-b|==>|a|-|-b|<=|a+b|
∴ |a|-|b|≤|a+b| ②
由① ,② 得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

Answer 2

你认可 | a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | 。 ① 么？
如果认可
那么
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|
只是把a+b当做① 中的a，-b当做① 中的b
| a ＋b －b |=|(a+b)+(-b)|<=|a+b|+|-b|
如有疑问请继续追问或Hi我

Answer 3

可以看把 | a ＋b | ， | －b| 看成三角形的两边
| a ＋b －b | ＜ | a ＋b | ＋ | －b| 三角形两边之差小于两边之和