Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的友焦点为F，过点F作直线PF垂直该双曲线的一条渐进线L1于点P(根3/3,根6/3)（1）求此双曲线的方程（2）设A,B为双曲线上的两点，若点N(1,2)是线段AB的中点，求直线AB的方程

Answer 1

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F（c,0)，过点F作直线PF垂直该双曲线的一条渐进线L1于点P(根3/3,根6/3),
∴（√3/3）^2/a^2-(√6/3)^2/b^2=0,
∴b^2=2a^2,
L1的斜率b/a=√2，
PF的斜率=-1/√2，PF:y-√6/3=-1/√2*（x-√3/3）交x轴于F(√3,0），
∴c=√3,3a^2=c^2=3,a^2=1,b^2=2,
∴此双曲线的方程为x^2-y^2/2=1.
(2)设A(1+h,2+k),B(1-h,2-k),则
（1+h)^2-(1+k)^2/2=1,
(1-h)^2-(1-k)^2/2=1,
相减得4h-2k=0,
AB的斜率k/h=2,
∴AB的方程为2x-y=0(舍）.本小题无解。