Question

设f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x) (m∈R)

（1）当m=-1时，求函数f(x)的单调区间
（2）若当x≥0时，f(x)≤0，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)定义域x+1>0，即x>-1。
f(x)=(x+1)ln(x+1)-x2-2x
f'(x)=ln(x+1)+1-2x-2=ln(x+1)-2x-1
令二阶导函数 f''(x)=1/(x+1)-2<0，解得：x>-1或x<-1/2，综合定义域可得：x>-1.令f''(x)>0解出来并综合定义域可知无解。所以一阶导函数f'(x)为定义域内的减函数。
所以f'(x)的最小值为x取无穷大时的极限值：负无穷大，最大值为x取-1时的极限值：负无穷小。所以f'(x)为一个能取到一切实数的减函数。所以总有一个x值使得f'(x)=0，但是我们无法求出来，它是个高等等式。暂且设这个值为x0.那么当f'(x)<0时自然是x>x0；当f'(x)>0时自然是x<x0.
所以原函数f(x)在x<x0时为增函数，在x>=x0时为减函数。又因为当x=0时一阶导函数f'(0)=-1<0，所以可以确定x0必定在-1到0之间，即就是说x0在定义域内。
你这一问我认为没什么意义，因为x0在我们领域内没办法求出来，而且大部分这种类型的题目只要求一次导数就可以得到结果的。

(2)f(x)=(x+1)ln(x+1)+m(x2+2x)<=0
因为上式满足时x满足x>=0，所以x^2+2x>0。
上式可化为：m<=(x+1)ln(x+1)/(x^2+2x)，且满足x>=0.
所以此问就是求g(x)=(x+1)ln(x+1)/(x^2+2x)，x>=0，的最小值。然后m小于等于这个最小值。
当x趋向于0时，g(x)可由洛米达法则求出来等于1/2.<详细过程欢迎追问>
但此时还不能够说明2就是g(x)的最小值。一下还要证明它的单调性。
g'(x)={[lin(x+1)+1]*(x^2+2x)-[(x+1)ln(x+1)]*(2x+2)}/[(x^2+2x)^2]
={x^2+2x-(x^2+2x+2)ln(x+1)}/[(x^2+2x)^2]
设h(x)=x^2+2x-(x^2+2x+2)ln(x+1)，
h'(x)=2x+2-(2x+2)ln(x+1)-(x^2+2x+2)/(x+1)=2(x+1)[1-ln(x+1)]-(x+1)-1/(x+1)
=(x+1)[1-2ln(x+1)]-1/(x+1)
因为当x>=0时，函数y=x+1为增函数，y=1-2ln(x+1)为减函数，y=1/(x+1)为增函数。
（请你自己去验证，这个很简单了。）但是对数函数减的"速度"小于一次函数增的"速度"
<出自用洛米达法则求商的极限时的结论>，
所以可得到它们复合而成的函数h'(x)为增函数，最小值为当x=0时的值：0
所以h'(x)>=0，即h(x)为增函数，最小值为当x=0时的值：0
所以h(x)>=0，而x^2+2x>=0，所以g'(x)>0.即g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为当x=0时的极限值：1/2. <这个极限值用洛米达法则可以求出，具体方法欢迎追问。>
所以m<=g(x)成立的条件为：m要小于等于g(x)的最小值。所以:
m<=1/2,。
附：那个求h'(x)单调性时，另一种易懂的方法就是不断地继续求导函数，直到你可以直接判断某一个导函数的正负为止。
重在掌握这种方法！

追问

洛米达法则是什么？

追答

对于两个多项式组成的商的形式，如果当变量趋向于某一个值时，分子上的多项式和分母上的多项式同时趋向于0或同时趋向于无穷大，这种情况下没有办法得到极限值了，就可以利用锣密达法则，即：对分子分母同时分别求导，此时的结果如果还是同时趋向于0或同时趋向于无穷大，就继续对分子分母同时求导，直到可以取到极限值为止。
如果不懂锣密达法则，那这道题超出你的范围了！

Answer 2

(1)定义域x+1>0，即x>-1。
f(x)=(x+1)ln(x+1)-x2-2x
f'(x)=ln(x+1)+1-2x-2=ln(x+1)-2x-1
令 f'(x)分别＞0 ， ＜0 ，解范围

（2）
f'(x)=ln(x+1)+1+2m(x+1)
=ln(x+1)+2mx+2m+1
已知x≥0 则ln(x+1)≥ln1=0
又f(x)≤0恒成立 则必需f'(x)≤0
所以2mx+2m+1≤0
即m≤-1/2(x+1)≤-1/2
此时，函数单减
只需f(0)=0≤0
故m≤-1/2

Answer 3

(1) f'(x)=1+ln(x+1)-2x-2=ln(x+1)-2x-1

Answer 4

即x>ln2是 导函数f>0 原函数f为增函数 （1）单调减区间为（-无穷大，ln2】 单调增区间为【ln2，+无穷大）极小值 为f（ln2）=2-2ln2+2a （2

Answer 5

f'(x)=1+ln(x+1)-2x-2=ln(x+1)-2x-1