Question

【高悬赏】数学三角函数，有点难

1.求y=sin^10（x）+cos^10（x）求函数的最值，增减区间，周期
2.求y=sin^8（x）+cos^8（x）求函数的最值，增减区间，周期

Answer 1

你好！

2、y=(sinx)^8 + (cosx)^8
= (sinx)^8 - 2 sin⁴x cos⁴x + (cosx)^8 + 2sin⁴x cos⁴x
= (sin⁴x - cos⁴x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= [(sin²x+cos²x)(sin²x - cos²x)]² + 2sin⁴xcos⁴x
= (sin²x - cos²x)² + 2sin⁴x cos⁴x
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x)
= 1/8 sin⁴(2x) - sin²(2x) + 1

令t = sin²(2x) = [1-cos(4x)] / 2，0≤t≤1
周期 T= π/2
易得f(x)在t∈[0,1]是减函数
∴t=1时取最小值1/8，t= 0时取最大值 1
t= [1-cos(4x)] / 2的增区间（kπ/2，π/8 + kπ/2）k∈Z，即是 f(x) 的减区间
t= [1-cos(4x)] / 2 的减区间（-π/8 + kπ/2，kπ/2）k∈Z，即是f(x)的增区间

1、
y = (sinx)^10 + (cosx)^10
= (sinx)^8 (1-cos²x) + (cosx)^8 (1-sin²x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [ (sinx)^6 + (cosx)^6 ]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (sin²x+cos²x)(sin⁴x - sin²xcos²x +cos⁴x)
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x [(sin²x +cos²x)² - 3sin²xcos²x]
= (sinx)^8 + (cosx)^8 - sin²xcos²x (1- 3sin²xcos²x)
= cos²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) [1 - 3/4 sin²(2x)]
= 1 - sin²(2x) + 1/8 sin⁴(2x) - 1/4 sin²(2x) + 3/16 sin⁴(2x)
= 5/16 sin⁴(2x) - 5/4 sin²(2x) +1

同上可得 最大值1，最小值 1/16
周期T= π/2
增区间（-π/8 + kπ/2，kπ/2）k∈Z
减区间（kπ/2，π/8 + kπ/2）k∈Z

【小结】目标就是降次，凑出 sin²x + cos²x 可达到化简目的。
【探究】我们很容易求得
y=sin⁴x + cos⁴x 的周期为π/2，最大值1最小值1/2
y=(sinx)^6 + (cosx)^6 的周期为π/2，最大值1最小值1/4
由此猜想 y=(sinx)^(2n) + (cosx)^2n 周期π/2，最大值1最小值 1/2^(n-1)
且他们具有和y=cos4x 相同的单调区间

Answer 2

y=(sinx)^8+(cosx)^8
=[(sinx)^2+(cosx)^2] [(sinx)^6+(cosx)^6]-sinx^6cosx^2-sinx^2cosx^6
=(sinx^6+cosx^6)-sinx^2cosx^2(sinx^4+cosx^4)
=(sinx^2+cosx^2)(sinx^4-sinx^2cosx^2+cosx^4) -sinx^2cosx^2*(1-2sinx^2cosx^2)
=sinx^4+cosx^4-2sinx^2cosx^2+2sinx^4cosx^4
=(sinx^2-cosx^2)^2+2(sinxcosx)^4
=(cos2x)^2+2(sin2x/2)^4
=(1+cos4x)/2+(1/8)[(sin2x)^2]^2
=(1+cos4x)/2+(1/8) [(1-cos4x)/2]^2
=(1+cos4x)/2+(1/32)[1-2cos4x+(cos4x)^2]
=(1/32)(cos4x)^2+(7/16)cos4x+17/32
= (1/32)(cos4x+7)^2+17/32-49/32
=(1/32)(cos4x+7)^2-1
周期T=2π/4=π/2
最大=2-1=1
最小=36/32-1=1/8
递增 (2k+1)π<4x<(2k+2)π 递减 2kπ<4x<(2k+1)π

1
y=sinx^10+cos^10
=(sinx^2+cosx^2)(sinx^8+cosx^8)-sinx^2cosx^8-sinx^8cosx^2
=(sinx^8+cosx^8) -sinx^2cosx^2(sinx^6+cosx^6)
=(sinx^8+cosx^8)- sinx^2cosx^2[sinx^4-sinx^2cosx^2+cosx^4]
=(sinx^8+cosx^8)-(sin2x/2)^2[1-3(sin2x/2)^2]
=(sinx^8+cosx^8)-(1/4)(sin2x)^2+(3/16)(sin2x)^4
=(sinx^8+cosx^8)-(1/8)(1-cos4x)+(3/16)[(1-cos4x)/2]^2
=(sinx^8+cosx^8)-(1/8)(1-cos4x)+(3/64)(1-2cos4x+(cos4x)^2)
=(sinx^8+cosx^8)-5/64+(1/32)cos4+(3/64)cos4x)^2
=(1/32)(cos4x)^2+(7/16)(cos4x)+17/32-5/64+(1/32)cos4x+(3/64)(cos4x)^2
=(5/64)(cos4x)^2+(15/32)cos4x+29/64

T=2π/4=π/2
递增(2k+1)π<4x<(2k+2)π 递减2kπ<4x<(2k+1)π
最大=1
最小=1/16

Answer 3

1.首先化简,sin^10(x)+cos^10(x)
=(sin^2(x)+cos^2(x))^5-5sin^8(x)cos^2(x)-10sin^6(x)cos^4(x)-10sin^4(x)cos^6(x)-5sin^2(x)cos^8(x)
=1-5sin^2(x)cos^2(x)(sin^6(x)+cos^6(x))-10sin^4(x)cos^4(x)
又sin^6(x)+cos^6(x)=(sin^2(x)+cos^2(x))^3-3sin^2(x)cos^4(x)-3sin^4(x)cos^2(x)
=1-3sin^2(x)cos^2(x)
代入上式得sin^10(x)+cos^10(x)=1-5sin^2(x)cos^2(x)+5sin^4(x)cos^4(x)
=5(sin^2(x)cos^2(x)-1/2)^2-1/4 =5(sin^2(2x)/4-1/2)^2-1/4
=5(cos(4x)/8+3/8)^2-1/4
∴y的周期为2π/4=π/2
2.利用以上结论sin^8(x)+cos^8(x)=(sin^8(x)+cos^8(x))(sin^2(x)+cos^2(x))
=sin^10(x)+cos^10(x)+sin^2(x)cos^2(x)(sin^6(x)+cos^6(x))
=sin^10(x)+cos^10(x)+sin^2(x)cos^2(x)-3sin^4(x)cos^4(x)
=1-4sin^2(x)cos^2(x)+2sin^4(x)cos^4(x)
=2(sin^2(x)cos^2(x)-1)^2-1
=2(cos(4x)/8+7/9)^2-1
∴y的周期为2π/4=π/2

Answer 4

重赏之下必有勇士，呵呵

Answer 5

采用拉格朗日公式进行降次，然后进行函数迭代，不知道你们学过桥函数没有？
是函数迭代的神器啊·····