Question

设a,b,c>0且a（a+b+c）+bc=4-2√3，求2a+b+c的最小值。

Answer 1

(2a+b+c)^2
=4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc
=4(a^2+ab+ac+bc)+(b-c)^2
=4(4-2√3)+(b-c)^2
>=4(4-2√3)=4(√3-1)^2
所以
2a+b+c的最小值=2(√3-1).

Answer 2

若a，b，c＞0且 a(a+b+c)+bc=4-2√3，
所以 a2+ab+ac+bc=4-2√3，
4-2√3=a2+ab+ac+bc=1／4(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤1／4(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2)
∴ (2√3-2)²≤(2a+b+c)²，
则（2a+b+c）≥ 2√3-2，