Question

证明不等式，竞猜题 求证：a^2b^3c^3+a^3b^2c^3+a^3b^3c^2<=a^8+b^8+c^8

Answer 1

a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²
=a²b²c²(bc+ca+ab)
≤a²b²c²[(b²+c²)/2 +(c²+a²)/2 +(a²+b²)/2]
=a²b²c²(a²+b²+c²)
=a⁴b²c² + b⁴c²a² + c⁴a²b²
≤a⁴(b⁴+c⁴)/2 +b⁴(c⁴+a⁴)/2 +c⁴(a⁴+b⁴)/2
=a⁴b⁴+ b⁴c⁴+ c⁴a⁴
≤(a^8+b^8)/2+(b^8+c^8)/2+(c^8+a^8)/2
=a^8+b^8+c^8

Answer 2

3a^8+3b^8+2c^8
=a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8
≥8 （a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8）^(1/8) (1/8次方就是8次根）
=8a^3*b^3*c^2
同理3a^8+2b^8+3c^8≥8a^3*b^2*c^3
2a^8+3b^8+3c^8≥8a^2*b^3*c^3
3式相加 8（a^8+b^8+c^8）≥ 8（a^3*b^3*c^2+a^3*b^2*c^3+a^2*b^3*c^3）
得证

Answer 3

排序不等式立得：不妨设a<=b<=c,由排序原理，2次使用排序不等式即可

Answer 4

yhj