Question

高数微分方程的一道题，y"-y'^2=1，求方程的通解。

文字叙述：y的二阶导数减去y的一阶导数的平方等于1，求方程的通解。哪位大侠帮我解一下，万分感谢！

Answer 1

解：设y'=p，则y''=pdp/dy
代入原方程，得pdp/dy-p²=1
==>pdp/(1+p²)=dy
==>d(1+p²)/(1+p²)=2dy
==>ln(1+p²)=2y+ln(C1²) (C1是积分常数)
==>1+p²=C1e^(2y)
==>p=±√[C1²e^(2y)-1]
==>dy/√[C1²e^(2y)-1]=±dx
==>e^(-y)dy/√[C1²-e^(-2y)]=±dx
==>d[e^(-y)]/√[C1²-e^(-2y)]=±dx
==>arcsin[e^(-y)/C1]=C2±x (C2是积分常数)
==>e^(-y)=C1sin(C2±x)
故原方程的通解是e^(-y)=C1sin(C2±x) (C1,C2是积分常数)。

Answer 2

令y'=p
原式变为：p'-p2=1解法 跟三楼的一样

属于可降解的高阶微分方程中的 y"=f(x,y‘）型

Answer 3

解：微分方程为y"-y'²=1，设y'=u，方程化为u'-u²=1，u'=u²+1，du/dx=u²+1，du/(u²+1)=dx，arctanu=x+a(a为任意常数)，u=tan(x+a)，y'=tan(x+a)，微分方程的通解为y=c-ln|cos(x+a)|(c为任意常数)，请参考

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具。

解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。

Answer 4

不会.....如果不等于1的话就会....

Answer 5

？