Question

线性方程组求解

(2λ+1)x-λx2+（λ+1）x3=λ-1
（λ-2）x +（λ-1）x2+(λ-2) x3=λ
(2λ-1) x +( λ-1) x2+(2λ-1) x3=λ

λ为何值时,线性方程组 (1)有唯一解 (2)无解, (3)有无数解,并在有无数解时求其通解
图片不知道能不能看清楚

Answer 1

解: 系数矩阵的行列式 =
2λ+1 -λ λ+1
λ-2 λ-1 λ-2
2λ-1 λ-1 2λ-1

c1-c3
λ -λ λ+1
0 λ-1 λ-2
0 λ-1 2λ-1

r3-r2
λ -λ λ+1
0 λ-1 λ-2
0 0 λ+1

= λ(λ-1)(λ+1).

当λ≠0且λ≠1且λ≠-1时, 方程组有唯一解. [Crammer法则]

当λ=0时, 增广矩阵=
1 0 1 -1
-2 -1 -2 0
-1 -1 -1 0

r2+2r1,r3+r1
1 0 1 1
0 -1 0 -2
0 -1 0 -1

r3-r2
1 0 1 1
0 -1 0 2
0 0 0 1
此时 r(A)=2,r(A,b)=3, 方程组无解.

当λ=1时, 增广矩阵=
3 -1 2 0
-1 0 -1 1
1 0 1 1

r3+r2
3 -1 2 0
-1 0 -1 1
0 0 0 2
此时 r(A)≠r(A,b), 方程组无解.

当λ=-1时, 增广矩阵=
-1 1 0 -2
-3 -2 -3 -1
-3 -2 -3 -1

r3-r2,r2-3r1
-1 1 0 -2
0 -5 -3 5
0 0 0 0

r1*(-1),r2*(-1/5),r1+r2
1 0 3/5 1
0 1 3/5 -1
0 0 0 0
此时 r(A)=r(A,b)=2, 方程组有无穷多解.
通解为: (1,-1,0)^T+c(3,3,-5)^T.