Question

函数f(x)=ax^3-6ax^2+b,x∈[1,2]的最大值为3，最小值为-29 求a ， b

Answer 1

f′＝3ax(x-4)=0,
x=0∈[-1,2]，x=4不属于[-1,2]故舍去。
－1≤x<0, f′>0, f(x)是增函数。
0<x≤2, f′<0, f(x)是减函数。
故x＝0是f(x)在[-1,2]上惟一极大值点。
f max＝f（0）＝b＝3。
f(x)在[-1,2]的最小值
f min＝min{f(-1),f(2)}
f(-1)=-7a+3,
f(2)=-16a+3.
当a＝0时，f min＝f（－1）＝f（2）＝3与f min＝－29矛盾。
当a>0时，f(-1)>f(2), f min=f(2)=-16a+3=-29, a=2.
当a<0时，f(-1)<f(2), f min=f(-1)=-7a+3=-29, a=32/7.无解。
所以
a＝2，b＝3。

Answer 2

由题意可知 a≠0（此时f（x）=b,f(x)min=f(x)max)
f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4) 若f'(x)=0，则x=0或x=4当a＞0时，
-1≤x＜0，则f'(x)＞0
x=0，则f'(x)=0
0＜x≤2，则f'(x)＜0
所以，f（x）在x=0处取得极大值也是最大值，所以f（x）max=f（0）=b=3
f（-1）=-7a+b f（2）=-16a+b 此时f（2）＜f（-1）
f(x)min=f(2)=b-16a=-29 a=2
同理，当a＜0时，有-1≤x＜0，则f'(x)＜0
x=0，则f'(x)=0
0＜x≤2，则f'(x）＞0
此时，f（x）在x=0处取得极小值也是最小值，f(x)min=f（0）=b=-29
f（-1）=-7a+b f（2）=-16a+b 此时f（-1）＜f（2）
所以f（x）max=f(2)=b-16a=-29 a=-2
所以a=2,b=3 或a=-2，b=-29

Answer 3

f′＝3ax(x-4)=0,
x=0∈[-1,2]，x=4不属于[-1,2]故舍去。
－1≤x<0,
f′>0,
f(x)是增函数。
0<x≤2,
f′<0,
f(x)是减函数。
故x＝0是f(x)在[-1,2]上惟一极大值点。
f
max＝f（0）＝b＝3。
f(x)在[-1,2]的最小值
f
min＝min{f(-1),f(2)}
f(-1)=-7a+3,
f(2)=-16a+3.
当a＝0时，f
min＝f（－1）＝f（2）＝3与f
min＝－29矛盾。
当a>0时，f(-1)>f(2),
f
min=f(2)=-16a+3=-29,
a=2.
当a<0时，f(-1)<f(2),
f
min=f(-1)=-7a+3=-29,
a=32/7.无解。
所以
a＝2，b＝3。