Question

求解2道积分题

1.求平面Z=x^2+y^2+1上点M(1,-1,3)的切平面与曲面Z=x^2+y^2所围成的空间区域的体积。
2.设f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在[a,b]上存在且可积,f(a)=f(b)=0,试证：
2|f(x)|≤∫|f(x)'|dx ,(积分域为[a,b])

Answer 1

1. 切平面 2(x-1) - 2(y+1) - (z-3) = 0,
即 z = 2x - 2y - 1
切平面与 Z=x^2+y^2 的交线在 xoy平面的投影：(x-1)²+(y+1)² = 1
D：：(x-1)²+(y+1)² ≤1
V = ∫∫D [ (2x - 2y - 1) - ( x² + y²) ] dxdy = ∫∫D [ 1 - (x-1)² - (y+1)² ] dxdy
= ∫∫ D (1 - ρ²) ρ dρdθ 极坐标：0≤ρ≤1， 0≤θ≤2π
= π/2
2. f(x) = ∫ [0,x] f '(t) dt

追问

第一题的解我刚开始也是这么解的。可我考虑，切平面与曲面围城的空间，在上半立面和下半立面都有，而体积是正数。积分函数 (2x - 2y - 1) - ( x² + y²)，在上半立面的积分空间值为正，在下半立面的积分空间值为负，我们是不是应该考虑取绝对值积分呢？
第二题没看懂，能给出完整的证明吗？

追答

1. 切平面在曲面 z = x² + y² + 1 的下侧，所求体积就是处于 切平面下方、且在抛物面 z = x² + y² 上方的部分。
2. 感觉题目不对头，请检查题目。

追问

第二题没有问题，是某次考试题，但没有答案。问过几个人，都没证出来。
.设f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在[a,b]上存在且可积,f(a)=f(b)=0,试证：
2 |f(x)| ≤ ∫ (a,b) f'(x)| dx

追答

2. |f(x)| = | f(x) - f(a)| = | ∫ [a,x] f '(t) dt | ≤ ∫ [a,x] | f '(t)| dt ①
|f(x)| = | f(b) - f(x)| = | ∫ [x,b] f '(t) dt | ≤ ∫ [x,b] | f '(t)| dt ②
① + ② 得：
2 |f(x)| ≤ ∫ [a,x] | f '(t)| dt + ∫ [x,b] | f '(t)| dt = ∫ [a,b] | f '(t)| dt
即证。

Answer 2

体积为   5abc/3

解：由几何关系可知，分成的体积有两部分且对称的。在z>0，平面上的取值范围为0<z<c,  0<y<b

-a<x<a.  做三重积分即可得到这部分的体积。

V=∫ dz∫∫ (x^2/a^2+y^2/b^2)dxdy  ,其中z的积分限为[0,c],x的积分限为[-a,a],y的积分限为[bz/c,b].

V=∫dz ∫dx ∫(x^2/a^2+y^2/b^2)dy=∫dz ∫[ (b/a^2-bz/ca^2)x+b/3(1-z^3/c^3) ]dx=

∫(4ab/3-2abz^3/3c^3-2abz/3c) dz=4abz/3-abz^4/6c^3-abz^2/3c|(0,c)= 5abc/6

总体积为2V=5abc/3

应该是滴

追问

牛头不对马嘴。这是从哪里粘贴了过来的？
1.分成的体积关于Z不对称，看交线的方程就知道。
2.你积分的这是什么？

Answer 3

SeG
116

追问

什么意思？