Question

已知向量a=（cosa，sina-1），b=（1，2sina），是否存在a（0<a<2π）使得a垂直b，若存在求出a，若不存在，

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Answer 1

ab=cos a +2sin a (sin a - 1)=cos a + 2sin^2 a-2sin a=0
存在：a = π/2 ，使 ab=0，即 a⊥b。

Answer 2

a＾垂直b^ 则 唯有 a ＾dot b＾= 0

所以 cosa + (sina-1)2(sina)=0 是a＾垂直b^ 的充要和必要条件

cosa = 2sina - 2(sina)^2

[1- (sina)^2] ^(1/2) = 2sina[1- (sina)]

[1- (sina)] ^(1/2) [1+(sina)] ^(1/2) - 2sina[1- (sina)] = 0

[[1- (sina)] ^(1/2)] {[1+(sina)] ^(1/2) - 2sina[1- (sina)]^(1/2)} = 0

{[1+(sina)] ^(1/2) - 2sina[1- (sina)]^(1/2)} =0 或 [[1- (sina)] ^(1/2)] = 0

1+sina = 4(sina)^2 (1-sina) 或 [[1- (sina)] ^(1/2)] = 0

4(sina)^3 -4(sina)^ 2 + sina + 1=0 或 pi/2

用数值分析 只有一个实根a= 3.4968 或 pi/2

Answer 3

注意本题考察高中两个基本知识点：
1，向量垂直的定义；
2，向量垂直的表达式；
课本关于表达式为：a⊥b，等价于a*b=0；
∴cosα*1 +（sinα-1）*2sinα=0；
下面就是考察利用三角函数公式化简的能力了。
cosα=2sinα（1-sinα）；
两边平方有：
cos²α=4sin²α（1-sinα）²；
（1-sinα）（1+sinα）=4sin²α（1-sinα）²；
∵sinα=1时，a=（0,0），此时向量a与向量b共线，∴sinα≠1；
∴1+sinα=4sin²α（1-sinα）；
4sin³α-4sin²α+sinα+1=0；
解此一元三次方程：sinα=某个数；
不好意思，我不会解一元3次方程；
然后查表求出α的值即可；

特别注意：向量a、b不能是0向量，这个才是本题容易丢分的地方，也是高考容易考察你们基本知识掌握的程度。

Answer 4

我现在还只能部分地回答这个问题：已经求出了一个值a=π/2. 因为若垂直就有cosa+2sina*sina-2sina=0;用万能代换，令tan(x/2)=t,得到t∧4+4t∧3-8t∧2+4t-1=0,分解多项式得到（t-1）(t∧3+5t∧2-3t+1)=0,这个代换前提是cosa≠0,而当cosa=0时可知sina=1,即a=π/2;而解后面这个方程我用卡尔达诺公式还没有算出实根，计算量太大；不过至少先给你一个答案吧，a是存在的，不过除了π/2还有其他解的。