Question

初中几何数学题在等腰三角形ABC中，角ACB等于90度，AC=BC，点D是三角形ABC内德一点，且AD=AC，

若角DAC等于30度，试探究BD与CD的数量关系并加以证明

Answer 1

BD=CD；理由如下：
证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴四边形AEBC是正方形，
∵∠DAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AC，
∴AD=AE，
∴三角形AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEB=30°，
在△ADC和△EDB中 {AD=ED∠DAC=∠DEB=30°AC=BE
所以，△ADC≌△EDB（SAS），
∴BD=CD．

Answer 2

解：作DM⊥AC于M, DN⊥BC于N.
∵AC⊥BC于C，DM⊥AC于M, DN⊥BC于N.
∴四边形DMCN为矩形
则CN = DM ①
在Rt△DMA中，有DM = 1/2 AD ②
又AD = AC = BC ③
∴ CN = 1/2 BC

∵ DN⊥BC于N， CN = 1/2 BC
∴DC = DB （线段垂直平分线上的点到此线段两端点距离相等）

Answer 3

作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F,先证明△DEC≌△CFD（也可用矩形性质）
利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，则可得CF=DE=1/2AC=1/2BC
则得CD=BD

Answer 4

设AC=BC=1，三角形ACD中，得CD的大小，在三角形BCD中，角BCD=15度
跟据根据余弦定理，可求出BD的大小，则可得出它们的关系。

Answer 5

解：作DM⊥AC于M, DN⊥BC于N.
∵AC⊥BC于C，DM⊥AC于M, DN⊥BC于N.
∴四边形DMCN为矩形
则CN = DM ①
在Rt△DMA中，有DM = 1/2 AD ②
又AD = AC = BC ③
∴ CN = 1/2 BC

∵ DN⊥BC于N， CN = 1/2 BC
∴DC = DB （线段垂直平分线上的点到此线段两端点距离相等）

Answer 6

图略。。。本题采用两个余弦定理即可求出答案，可设两直角边为1，则斜边为根号2，
BD^2 = AB ^2+AD^2 - 2*AB*AD*cos15 , CD^2=AC^2+AD^2+2*AC*AD*cos30 。