Question

如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=√2a,点E在PD上，且PE：ED＝2：1

在棱PC上是否存在一点F，使BF‖平面AEC？证明结论——————如何用补全四棱柱的方法证明？

Answer 1

存在，F为PC的中点。
因为,∠ABC=60°，ABCD是菱形
所以，AB=BC=CD=AD=a=PA 又因为PB=PD=√2a
所以，△PAB 、△PAD为直角三角形
所以，PA⊥AB、PA⊥AD
所以，PA⊥平面ABCD
补全四棱柱ABCD-PB'C'D'，AE交DD'于G，取PC交BD'于K，AC中点H，所以GH属于平面AEC
因为PE:ED=2=PA:DG
所以G为DD'中点
在△BDD'中，H为BD中点
所以HG//BD'
所以BK//HG
又因为CK交平面ACE与点C且CK不属于平面ACE，所以K不属于平面ACE
综上所述，BK平行于平面ACE上的直线HG，且BK不在平面ACE上，
得出结论：BK//平面ACE
所以存在F，使BF//平面AEC，F即为K点所在位置