Question

一道定积分的高数题 如图 急求

要用投影到y轴的摄影做

Answer 1

y1=2x+3与y2=x²交于点（-1，1）、（3,9）且x²≤2x+3 （-1≤x≤3）
则任取[x，x+dx)包含于[-1,3]
dS=(y1-y2)dx
S=∫（-1，3）(y1-y2)dx=[x^2+3x-x^3/3]=32/3

追问

要dy的 谢谢拉

追答

y=2x+3与y=x2交于点（-1，1）、（3,9）
由图可以看出x=1将积分区域分成2块[0,1）和[1,9]
y=x2,可得x=±√y，
y=2x+3，可得x=(y-3)/2。

任取[y,y+dy)包含于[0,1），则此块面积为S1=∫(0,1)[√y-(-√y)]dy=4√y^3/3=4/3
任取[y,y+dy)包含于[0,1），则此块面积为S2=∫(1,9)[√y-(y-3)/2]dy=28/3
S=S1+S2=32/3

点评：此题如果在y轴积分，就要按照被积函数的不同把积分区域分块2个区域。如何分？就是用笔头从右往左画试试，看穿过的两条线是不是一直保持不变（这一题，x=√y都是一样的。但另一条线变了）。
题目是说适当的方法做，如果选的话，还是在x轴积分比较好：
①穿过的两条线一直保持不变（都是先y=2x+3，后y=x2），所以一个表达式即可；
②都是整式，计算不容易出错。

Answer 2

以y为积分变量.把Y分段分为0到1 和1到9
1到9积分函数为 根号Y-(y-3)/2
0到1区间积分函数根号Y-(-根号y) 其实就是2根号y

Answer 3

先求两个函数的交点是（3,9）和（-1,1），再用定积分求：s=∫-1,3(2x+3-x^2)dx=32/3