如何证明∫[0,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sinx)dx
如图所示：
如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。
扩展资料：
积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
参考资料来源：百度百科—— 积分变限函数
计算∫[π/2,π]xf(sinx)dx
令x=π-t 得
∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=∫[π/2,0] (π-t)f(sin(π-t))d(π-t)
=∫[0,π/2] (π-t)f(sint)dt
=π∫[0,π/2] f(sint)dt-∫[0,π/2]t f(sint)dt∫[0,π]xf(sinx)dx
=∫[0,π/2]t f(sint)dt+∫[π/2,π]xf(sinx)dx
=π∫[0,π/2]f(sint)dt
扩展资料：
性质
1、当a=b时，
2、当a>b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
参考资料：百度百科——定积分
如图
令x=π-t 得
∫[π/2,π]xf(sinx)dx=∫[π/2,0] (π-t)f(sin(π-t))d(π-t)
=∫[0,π/2] (π-t)f(sint)dt=π∫[0,π/2] f(sint)dt-∫[0,π/2]t f(sint)dt
∫[0,π]xf(sinx)dx=∫[0,π/2]t f(sint)dt+∫[π/2,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sint)dt
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