Question

a+b+c=3, 1/a+1/b+1/c=1/3, 求(a-3)(b-3)(c-3)

需要将条件二去分母而后整体带入

Answer 1

先将所求式子简化：
(a-3)(b-3)(c-3)
=(ab-3a-3b+9)(c-3)
=abc-3ac-3bc+9c-3ab+9a+9b-27
=abc-3(ac+bc+ab)+9(a+b+c)-27
由已知，a+b+c=3，所以9(a+b+c)=27
1/a+1/b+1/c=1/3，将这个式子的左边通分，公分母为abc，得(bc+ac+ab)/abc=1/3
即3(bc+ac+ab)=abc
所以，(a-3)(b-3)(c-3)=abc-3(ac+bc+ab)+9(a+b+c)-27=0

Answer 2

【【其他方法】】
解：
【1】
∵a+b+c=3
∴b+c=3-a
【2】
∵（1/a)+(1/b)+(1/c)=1/3
∴(1/b)+(1/c)=(1/3)-(1/a)
(b+c)/(bc)=(a-3)/(3a)
结合b+c=3-a可得
bc=-3a
这样可得
b+c=3-a
bc=-3a
∴由伟达定理可知
b和c是关于x的方程：x²-(3-a)x-3a=0
的两个实根。
易知，该方程的两个实根为
x1=3, x2=-a.
∴b和c中，有且必有一个为3.
不妨设b=3
∴b-3=0
∴(a-3)(b-3)(c-3)=0