Question

数学题！！在锐角三角形ABC中，角ABC所对的边是abc，已知bcosC+ccosB=2/3根号3asinA。求角A

在锐角三角形ABC中，角ABC所对的边是abc，已知bcosC+ccosB=2/3根号3asinA。求角A，求(b-c)/a的取值范围

Answer 1

已知bcosC+ccosB=2/3根号3asinA
由正弦定理化为角的形式
sinBcosC+sinCcosB=(2/3)√3*sin²A
sin(B+C)=(2/3)√3*sin²A
sinA=(2/3)√3*sin²A
即sinA=√3/2
因是锐角三角形ABC
所以A=60°
B=180°-A-C=180°-60°-C=120°-C
由正弦定理(b-c)/a=(sinB-sinC)/sinA
=2cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]/(√3/2)
=(4/3)√3*cos(90°-A/2)sin[(120°-C-C)/2]
=(4/3)√3*cos60°sin[(120°-2C)/2]
=(2/3)√3*sin(60°-C)
因C为锐角，即0<C<90°
则-30°<60°-C<60°
-1/2<sin(60°-C)<√3/2
所以-√3/3<(b-c)/a<1

Answer 2

bcosC+ccosB=2/3根号3asinA
∵bcosC+ccosB
则
a=2/3根号3asinA
sinA√3/2
∴A=60°（A为锐角）
(b-c)/a=（sinB-sinC)/sinA
=2sin（B-C)/2cos（B+C)/2 /2sinA/2cosA/2
=sin（B-C)/2 /cosA/2
=4sin（B-C)/2
因为在锐角三角形ABC中
0<=|B-C|<60°
0<=|B-C|/2<30°
∴-2<4sin（B-C)/2<2