Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点

Answer 1

解：假设存在，设L：y=x+b，设A(x1,y1)，B(x2,y2)；AB的中点M(x0,y0)；
则：x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2
则以AB为直径的圆，圆心为M，半径r=AB/2；
因为要求使该圆过原点，所以MO=r，即：MO=AB/2；
4MO²=AB²，
4MO²=4(x0²+y0²)=(x1+x2)²+(y1+y2)²
因为A,B在直线L：y=x+b上，
所以：y1=x1+b，y2=x2+b；则：y1+y2=x1+x2+2b；
所以：4MO²=(x1+x2)²+(x1+x2+2b)²=2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²；
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
因为：y1-y2=x1-x2
所以：AB²=2(x1-x2)²=2[(x1+x2)²-4x1x2]=2(x1+x2)²-8x1x2；
由4MO²=AB²得：2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²=2(x1+x2)²-8x1x2
即：b(x1+x2)+2x1x2+b²=0；
直线L：y=x+b 与圆C：x²+y²-2x+4y-4＝0
联列方程组，消去y，得关于x的一元二次方程：x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4＝0；
整理得：2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0；
由韦达定理：x1+x2=-(b+1)，x1x2=(b²+4b-4)/2；
代入等式b(x1+x2)+2x1x2+b²=0，得：-b(b+1)+b²+4b-4+b²=0；
整理得：b²+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
解得：b1=-4，b2=1；
对于二次方程：2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0要有两个不同的实数根；
所以，判别式=4(b+1)²-8(b²+4b-4)>0；
即：4b²+24b-36<0
b²+6b-9<0
b1=-4和b2=1均满足；
所以，存在符合题意的直线L：y=x-4 或 y=x+1；

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Answer 2

设直线 L的方程为 y=x+b,代入圆C的方程，得
x²+x²+2bx+b²-2x+4x+4b-4=0
2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0
这个方程的二个根分别是点A,B的横坐标
x1+x2=-b-1 x1x2=(b²+4b-4)/2
y1+y2=(x1+x2)+2b=b-1
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+4b-4)/2-b²-b+b²=(b²+2b-4)/2
于是，AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2
=b²+2b+1-2b²-8b+8+b²-2b+1-2b²-4b+8
=-2b²-12b+18
那么AB的中点P的坐标是 x=-(b+1)/2 y=(b-1)/2
以P点为圆心，AB为直径的圆如果经过原点
必须满足 (b+1)²/4+(b-1)²/4=(1/2AB)²
即 b²+2b+1+b²-2b+1=-2b²-12b+18
4b²+12b-16=0
b²+3b-4=0 (b-1)(b+4)=0
所以，b=1 或b=-4
因此存在两条符合条件的直线，满足题设的要求
即 y=x+1 或y=x-4

Answer 3

设直线方程为y=x+b代入圆方程得到2x²+(2b+2)x+b²+4b-4＝0，所以圆心为
C（-(b+1)/2，(b-1)/2），所以OC=根号（2b²+1），又AB=根号（-2b²+20b+18），所以得到
4（2b²+1）=-2b²+20b+18 5b²-10b-7=0，因为有根，所以存在。

Answer 4

解：可设直线L:y=x+t.(t∈R).与圆的方程联立，得：2x²+2(t+1)x+t²+4t-4=0.⊿=4(t+1)²-8(t²+4t-4)＞0.===>-3-3√2＜t＜3√2-3.可设点A(a,a+t),B(b,b+t),由伟达定理得a+b=-（t+1).ab=(t²+4t-4)/2.又由题设可知，OA⊥OB.===>(a,a+t)·(b,b+t)=0.===>ab+(a+t)(b+t)=0.===>2ab+(a+b)t+t²=0.===>(t²+4t-4)-t(t+1)+t²=0.===>t1=1（舍）,t2=-4.∴直线L:y=x-4.