Question

大神您好！能请您帮我解答最好带解析一下题目吗？大谢！我会加分的！

Answer 1

1.设3阶方阵A的行列式|A|=2 ，则|(3/2*A)^-1|=？
解: |(3/2*A)^-1|=|(2/3)A^-1|=(2/3)^3|A|^-1 = 4/27.

2. A=
2 1 0 0
5 3 0 0
0 0 2 3
0 0 5 7
=
B O
O C

B^-1=
3 -1
-5 2
C^-1=
-7 3
5 -2

A^-1 =
B^-1 O
O C^-1

3. A= 求矩阵B使得AB-2A=3B
4 0 0
1 4 0
1 1 4

解: AB-3B=2A, (A-3E)B=2A
所以 B=2(A-3E)^-1A

(A-3E,A)=
1 0 0 4 0 0
1 1 0 1 4 0
1 1 1 1 1 4

r3-r2,r2-r1
1 0 0 4 0 0
0 1 0 -3 4 0
0 0 1 0 -3 4

B=2(A-3E)^-1A=
8 0 0
-6 8 0
0 -6 8

4.3个3维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于0
|α1,α2,α3|=
a 1 1
1 b 1
2 3b 2
= r1-r2,r3-2r2
a-1 1-b 0
1 b 1
0 b 0
=b(1-a).

所以a=1或b=0时向量组线性相关, 否则线性无关

5. (α1,α2,α3,α4)=
1 2 -1 4
1 3 2 5
-1 -4 -3 -6
2 5 4 9

r4-2r1,r3+r2,r2-r1
1 2 -1 4
0 1 3 1
0 -1 -1 -1
0 1 6 1

r3+r2,r4-r2
1 2 -1 4
0 1 3 1
0 0 2 0
0 0 3 0
-->
1 2 -1 4
0 1 3 1
0 0 2 0
0 0 0 0
向量组的秩为3, α1,α2,α3是一个极大无关组.

6.A=
1 -3 -3
-3 1 -3
-3 -3 1

|A-λE|=(-5-λ)(4-λ)^2
方法: c1+c2+c3, r2-r1,r3-r1 即化为上三角行列式

所以A的特征值为 4,4,-5

(A-4E)X=0 的基础解系为: a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T (正交)
(A+5E)X=0 的基础解系为: a3=(1,1,1)^T.
单位化得 b1=(1/√2,-1/√2,0)^T,b2=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T,b3=(1/√3,1/√3,1/√3)^T.

令P=(b1,b2,b3), 则P为正交矩阵.
X=PY 为正交变换, 使得 f=4y1^2+4y2^2-5y3^2

f不是正定二次型,也不是负定的.

7. (α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1)=(α1,α2,α3)K
其中K=
1 0 2
2 1 0
0 2 1
因为 |K|=9≠0, 所以K可逆矩阵
所以 r(α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1)=r((α1,α2,α3)K)=r(α1,α2,α3)=3
所以 α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1 线性无关.

8. 证明: 设a是A的特征值
则a^2-2a 是 A^2-2A 的特征值
因为 A^2-2A = 0
所以 a^2-2a = 0
所以 a(a-2) = 0
所以 a=0 或 a=2.
即A的特征值只能是0或2.

9.解: |A-λE| =
4-λ 1 1
1 4-λ 1
1 1 4-λ
= -(λ-6)(λ-3)^2.

所以A的特征值为: 3,3,6

(A-3E)X = 0 的基础解系: a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,0,-1)^T
(A-6E)X = 0 的基础解系: a3=(1,1,1)^T
将a1,a2,a3正交化得
b1=(1,-1,0)^T
b2=(1/2,1/2,-1)^T
b3=(1,1,1)^T
单位化得
c1 = (1/√2, -1/√2, 0)^T
c2 = (1/√6, 1/√6, -2/√6)^T
c3 = (1/√3, 1/√3,1/√3)^T
得正交矩阵C =
1/√2 1/√6 1/√3
-1/√2 1/√6 1/√3
0 -2/√6 1/√3

写出 A 对应的二次型
f(x1,x2,x3)=4x1^2+4x2^2+4x3^2 +2x1x2+2x1x3+2x2x3

f 的标准形为: 3y1^2+3y2^2+6y3^2

Answer 2

哥们，我心有余而力不足。这东西怎么答嘛，只能写在纸上。其实都很简单的题。