Question

帮我做下这几道高等代数题吧，谢谢 或者能不能在哪找到答案！

1.设矩阵A=[-9 0 18;0 9 18;18 18 0],(1)问是否存在矩阵X,使得A=X^3?若存在, 请求出矩阵X,若不存在, 请说明理由.(2)将(1)的结论给以推广.
2.设A为数域P上的n阶矩阵,f(x),g(x)是数域P上互素的两个多项式,若将齐次线性方程组f(A)g(A)x=0,f(A)x=0,g(A)x=0的解空间分别为V,V1,V2,证明V=V1⊕V2。

Answer 1

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(1) X=[-1 0 2; 0 1 2; 2 2 0]
至于怎么来的，先把A做谱分解A=QDQ^T，然后取X=QD^{1/3}Q^T即可。
(2) 推广可以有很多种，比如说，任何实对称矩阵都存在实的立方根。

2 注意f(x)和g(x)没有公共根，把A的特征值分成3组：f(x)的根、g(x)的根、其它，这样可以取P上的相似变换把A化成分块对角阵[A1 0 0; 0 A2 0; 0 0 A3]，其中A1的特征值是f的根，A2的特征值是g的根，A3的特征值不是fg的根。那么f(A2)、f(A3)和g(A1)、g(A3)都非奇异，所以Ker[f(A)]和Ker[g(A)]的交集为0且Ker[f(A)]+Ker[g(A)]=Ker[f(A)g(A)]，比较一下空间维数或者考察分解式的唯一性就知道这个是直和，再把相似变换作用回去就得到V=V1⊕V2。