Question

数学积分问题

一个物体在气体介质中以初速度v直线运动,气体介质对它的加速度a = -k^2*v,
k为空阻系数，那么物体以初速度v运动距离S，其所用时间是多少。不考虑重力作用。

请列出其最简表达式

Answer 1

初速度应该是v0吧？
根据题意 dv/dt=-k^2*v
dv/v=-k^2*dt
积分，得：lnv=-k^2*t+c1
将v(0)=v0代入，得：c1=lnv0
v=v0e^(-k^2*t)
积分得：s=v0(e^(-k^2*t))(1/-k^2)+c2
设s(0)=0，得c2=v0/(k^2)
∴s=v0(e^(-k^2*t))(1/-k^2)+v0/(k^2)
物体以初速度v运动距离S为v0/(k^2)

追问

嗨，你的解答过程很好，但是我要的最终结果是时间 t 啊：t=... ... 不是S=......
麻烦您帮我解解,距离s,初速度v,空阻系数a,都是已知的，以此求时间t。

追答

如果要t的一般表达式，则s=v0(e^(-k^2*t))(1/-k^2)+v0/(k^2)
移项，取对数不就行了吗？
另外，理论上t→+∞物体才会停下来。

追问

数学好的人思维就是严谨啊。

不过您看，我的题目中并没有说末速度为0，
只是限定了初速度v，空阻系数k，其运动的距离s,以及空气对物体的影响 a= - v x (k^2)，
他在完成规定的运动距离的瞬间速率不一定为零，不是吗？

我放下数学很长时间了，相关的解法已经十分生疏，所以请您帮我解出最后的表达式 t。

还有另一种情况，当a= - v x k 时， 请解出t的表达式。

我会加分的

追答

t=(1/(-k^2))ln((v0-s(k^2))/v0)
当a= - v x k 时
t=(1/(-k))ln((v0-sk)/v0)

Answer 2

学习了

Answer 3

好难。。。。

Answer 4

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