Question

(1-sinx)/1+x^2的定积分，上下限为-1，1，能解吗

Answer 1

S(1-sinx)/1+x^2的定积分，上下限为-1，1，
=S1/（1+x^2)dx-Ssinx/(1+x^2)dx,上下限为-1，1，
前一个积分的被积函数为偶函数，后一个积分的被积函数为奇函数，所以
原积分=2S1/（1+x^2)dx,.上下限为0，1
=2arctanx(上下限为0，1)
=pi/2

Answer 2

L = ∫(-1->1) (1 - sinx)/(1 + x²) dx
Let x = -y，dx = -dy
x = -1，y = 1，x = 1，y = -1
= ∫(1->-1) (1 - sin(-y))/(1 + y²) (-dy)
= ∫(-1->1) (1 + siny)/(1 + y²) dy
= ∫(-1->1) (1 + sinx)/(1 + x²) dx = L

L + L = ∫(-1->1) (1 - sinx)/(1 + x²) dx + ∫(-1->1) (1 + sinx)/(1 + x²) dx
2L = 2∫(-1->1) dx/(1 + x²)
L = ∫(-1->1) dx/(1 + x²)
= arctanx |(-1->1)
= arctan(1) - arctan(-1)
= π/4 - (-π/4)
= π/2

追问

∫(1->-1) (1 - sin(-y))/(1 + y²) (-dy)
= ∫(-1->1) (1 + siny)/(1 + y²) dy
怎么（-dy)变成了dy，而前面没有变化呢

追答

定积分定理：-∫(b->a) f(x) dx = ∫(a->b) f(x) dx，负号拿掉则上下限互换
他们的答得对，其实用奇偶性比较快速的。
∫(-1->1) (1 - sinx)/(1 + x^2) dx
= ∫(-1->1) 1/(1 + x^2) dx + ∫(-1->1) sinx/(1 + x^2)
= 2∫(0->1) 1/(1 + x^2) dx + 0
= 2 * arctan(x) |(0->1)
= 2 * arctan(1) - 2 * arctan(0)
= 2 * π/4
= π/2

对于函数y = f(x)
奇函数是f(-x) = -f(x)，sinx/(1 + x^2)是奇函数，定理∫(-a->a) f(x) dx = 0，旋转对称的
偶函数是f(-x) = f(x)，1/(1 + x^2)是偶函数，定理∫(-a->a) f(x) = 2∫(0->a) f(x) dx，左右对称的

Answer 3

求定积分[-1，1]∫[(1-sinx)/(1+x²)]dx
解：[-1，1]∫[(1+sinx)/(1+x²)]dx=[-1，1]∫dx/(1+x²)+[-1,1]∫[sinx/(1+x²)]dx
由于被积函数1/(1+x²)是偶函数，故[-1，1]∫dx/(1+x²)=2arctanx︱[0，1]=2×(π/4)=π/2
而被积函数sinx/(1+x²)是奇函数，故[-1，1]∫[sinx/(1+x²)]dx=0
∴[-1，1]∫[(1-sinx)/(1+x²)]dx=π/2.

Answer 4

先变成1/1+x^2-sinx/1+x^2 有些要带的符号我不打上去了，你应该懂的。
后面的sinx/1+x^2 可变 1/1+x^2 与sinx相乘 分别求这两个的积分
最后的应该不用讲了，只是告诉你方法

追问

您说的办法一直是我用的，但是我实在不知道该怎样让三角函数进行变化