Question

设F（x）是f(x)的一个原函数，且F（0）=1，f(x)/F(x)=3x,求F（x）和f(x)

Answer 1

解：∵F(x)是f(x)的一个原函数
∴F'(x)=f(x)
∵f(x)/F(x)=3x ==>f(x)=3xF(x)
∴F'(x)=3xF(x) ==>d(F(x))/F(x)=3xdx
==>ln│F(x)│=3x²/2+ln│C│ (C是积分常数)
==>F(x)=Ce^(3x²/2)
∵F(0)=1 ==>C=1
∴F(x)=e^(3x²/2)
f(x)=F'(x)=3xe^(3x²/2)。

Answer 2

设y=F（x）
则dy=f(x)dx
所以f(x)/F(x)=3x可以化成dy/dx/y=3x
也就是：dy/y=3xdx
不定积分解出F（x），再把F（0）=1代入，即可得出F（x）的解析式，求导得到f(x)
具体积分自己算吧

Answer 3

X=0得，f（0）=0，对方程求导，得关于f（x）的倒数和本身的关系，接下来就是一阶线性微分方程了，用公式可求f（x）对其积分的F(x)

Answer 4

f(x)/F(x)=3x
dF(x)/F(X)=d(lnF(X))=3x
lnF(X)=3/2x²+c
lnF(0)=ln1=C
F(X)=e的（1.5x²）
f(x)=3xe的（1.5x²）