Question

3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=

3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．

Answer 1

令GM=xcm
因为BC=5cm，S△ABC为30cm2，而S△ABC=1/2×BC×AH
所以AH=12cm
又因为GD//AH,GF//BC
所以GD/AH=BD/BH,GF/BC=AM/AH,GM/BH=AM/AH
所以长方形面积S=GD×GF=(BD×BC×AM)/BH=60×(BH-x)×x/(BH×BH)
由于BH为定值，所以对x求导得S'=60×(BH-2x)/(BH×BH)
令S'=0得极值点x=BH/2
当x<BH/2时，S'>0;当x<BH/2时，S'<0
所以x=BH/2为极大值点，代入S得最大面积为S=60×(BH/2)×(BH/2)/(BH×BH)=60/4=15cm²

Answer 2

△ABC的内接长方形的最大面积＝（1/2）×30cm2＝15cm²

矩形DEFG在⊿ABC之内，DE在BC上，G在AB上，F在AC上。
设A关于GF的对称点为A′, B关于GD的对称点为B′, C关于FE的对称点为C′.
⊿ABC,矩形DEFG，⊿AGF,⊿BDG,⊿EFC,⊿A′B′C′的面积分别是S,S0,S1,S2,S3,S4.
则有S0＝S1＋S2＋S3－S4,
S＝S0＋S1＋S2＋S3.
S＝S0＋（S0＋S4）＝2S0＋S4≥2S0
当S4＝0时，（A′在BC上，）
S＝2S0
即：
三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半。

Answer 3

不会