Question

定积分 求解。

求助了好多人，我还是没搞懂。。。

Answer 1

首先x=0是可能的奇点，需要把积分区间分成[-1,0]和[0,1]分别考察
x -> 0- 时 1/(1+2^(1/x)) -> 1
x -> 0+ 时 1/(1+2^(1/x)) -> 0
所以这两段上都是普通的Riemann积分，不出现暇积分。
然后对[-1,0]上的积分做变量替换y=-x即可，两个积分最终可以合并，答案是1。

追问

这个 能写详细点么？我还真看不懂额。。。

追答

∫[-1,1]dx/(1+2^(1/x))
=∫[-1,0]dx/(1+2^(1/x)) + ∫[0,1]dx/(1+2^(1/x))
第一个积分做变量替换y=-x得到
∫[-1,0]dx/(1+2^(1/x)) = ∫[0,1]dy/(1+2^(-1/y)) = ∫[0,1] 2^(1/y)dy/(1+2^(1/y))
然后两个积分合并一下就行了
∫[0,1] 2^(1/y)dy/(1+2^(1/y)) + ∫[0,1]dx/(1+2^(1/x)) = 1

追问

这最后一步是什么啊？还真没见过呀。。。

追答

∫[0,1] 2^(1/y)dy/(1+2^(1/y))=∫[0,1] 2^(1/x)dx/(1+2^(1/x))
积分变量就是个符号，换个名字总可以的吧
你得好好检讨一下，看上去基本功一塌糊涂

追问

呀呀。。。不好意思。算我眼拙。。。真没看出来。（只是你的方法对我来说很新颖。）不过，谢谢了啊。。。

Answer 2

上下同乘以2^x得
∫[-1,1]dx/(1+2^(1/x))
=∫[-1,1]2^x/(2^x+1)dx
=1/ln2∫[-1,1]1/(2^x+1)d2^x
=1/ln2*ln(2^x+1)[-1,1]
=(ln3-ln(3/2))/ln2
=(ln3-ln3+ln2)/ln2
=1

追问

额。。。(1+2^(1/x))×2^x等于(2^x+1)么？

追答

搞错了啊。
你看电灯剑客的吧，数学系的高人。

追问

不是哦。。。2^(1/x)乘以2^x不该等于1吧。

追答

我知道了，我搞错了。看下面电灯剑客的吧，数学系的高人。

Answer 3