Question

数学题——数字6174

随机选个四位的整数，如1628，将组成它的数字从大到小排列，得8621，从小到大排列1268，用大的减小的，得7535……
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把7535一样做，7533-3357=4176
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再做一次4176，7641-1467=6174？
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又回到6174？
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为什么？
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都是这样？

Answer 1

“6174问题”的证明
http://post.baidu.com/f?kz=220311734
设a1a2a3a4是任一各位数字不全相等的四位数,将其数字从大到小重排为b1b2b3b4,
则9≥b1≥b2≥b3≥b4≥0(b1,b2,b3,b4之间的等号不能同时成立)
令x=b1b2b3b4-b4b3b2b1=1000b1+100b2+10b3+b4-(1000b4+100b3+10b2+b1)
=999(b1-b4)+90(b2-b3)
下分三种情况讨论
① 若b2-b3=0,
则x只能取0999,1998,2997,3996,4995,5994,6993,7992,8991这9个值,将这9个四
位数的数字按从大到小重排后得到下面5个四位数
表1 9954,9963,9972,9981,9990
② 若b1-b4=0,则x只能取0090,0180,0270,0360,0450,0540,0630,0720,0810这9
个值,将这9个四位数的每一个的数字按从大到小重排得到下面5个四位数
表2 5400,6300,7200,8100,9000
③ 若b1-b4≥1,且b2-b3≥1,则将x改写成
x=1000(b1-b4)+100(b2-b3-1)+10(9-b2+b3)+(10-b1+b4)
令c1=b1-b4,c2=b2-b3-1,c3=9-b2+b3,c4=10-b1+b4,则
1≤c1≤9,0≤c2≤8,0≤c3≤8,1≤c4≤9
因此 c1c2c3c4就是x的十进制表示,且有
c1+c4=10,c2+c3=8
由排列组合知满足上述条件的四位数c1c2c3c4只有81个,将这些四位数的数字按从大到小
的顺序重排后得到25个不同的四位数
表3 5544,5553,6444,6543,6552
6642,7443,7533,7551,7632
7641,7731,8442,8532,8550
8622,8640,8721,8730,8820
9441,9531,9621,9711,9810
将表1,表2,表3合并在一起得35个四位数
表4 5400,5544,5553,6300,6444
6543,6552,6642,7200,7443
7533,7551,7632,7641,7731
8100,8442,8532,8550,8622
8640,8721,8730,8820,9000
9441,9531,9621,9711,9810
9954,9963,9972,9981,9990
因此,a1a2a3a4经过1次K变换后,将所得的四位数按从大到小的顺序重排后必为表4所列的
35个数之一.
对表4的35个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到17个不同
的四位数
表5 5553,6543,6552,6642,7443
7641,7731,8532,8721,8730
8820,9621,9810,9954,9963
9972,9981
对表5的17个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到12个不同
的四位数
表6 5553,6543,6642,7443,7641
7731,8532,8730,8820,9621
9963,9981
对表6的12个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到8个不同
的四位数.
表7 6543,6642,7641,8532,8730
8820,9963,9981
对表7的8个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到5个不同
的四位数.
表8 6642,7641,8532,8730,8820
对表8的5个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到2个不同
的四位数.
表9 7641,8532
因此a1a2a3a4最多经过6次K变换后将所得四位数按从大到小的顺序重排必为表9所列
的两个数之一.而这两个数经过1次K变换都为6174.
所以,a1a2a3a4最多经过7次K变换就变为6174,且{6174}是唯一的一个循环节,长度
为1.
证毕

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换,得数k2.如此进行下去,卡普耶卡发现,无论k0是多大的四位数,

只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数6174.例如:

k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.

后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为"6174问题",上述变换称为卡普耶卡变换,简称 K 变换.

一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,则必有某个m(m=<7),使得km=6174.

更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后,从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?现在已经知道的是:

n=2,只能形成一个循环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出:36,27,45,09,81,27,...出现循环.

n=3,只能形成一个循环:(495).

n=4,只能形成一个循环:(6174).

n=5,已经发现三个循环:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933).

n=6,已经发现三个循环:(642654,...),(631764,...),(549945,...).

n=7,已经发现一个循环:(8719722,...).

n=8,已经发现四个循环:(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...)

n=9,已经发现三个循环:(864197532),(975296421,...),(965296431,...)

容易证明,对于任何自然数n>=2,连续做K变换必定要形成循环.这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故.但是对于n>=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题.

Answer 2

参考如下