Question

抛物线一些公式的证明，希望有人能替我解答一下，如下

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有 　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立 　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] 　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

Answer 1

设直线为
y=k(x-p/2) ①
抛物线为
y^2=2px ②
由上两式可得
k^2y^2/2p-y-pk/2=0 . ③
由③可知
y1y2=-p^2
由①③可知
y1y2=k^2[x1x2-p/2*(x1+x2)+p^2/4]
又x1+x2=(y1+y2)/k-p
由上带入可得
x1x2= p^2/4
弦长：|AB| = x1+x2+p不用说了吧，
至于|AB| = 2p/(sinθ)^2，由弦长公式
|AB|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2] ④
带入③式可得
|AB|=|2p(1+k^2/k^2 令k=tanθ
解得|AB|=2p/(sinθ)^2
1/|FA|+1/|FB|=(|FA|+|FB|)/|FA| |FB|=(x1+x2+p)/(x1+p/2)(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4]
带入①③以及已证结论x1x2= p^2/4
解得1/|FA|+1/|FB|=2/p

还有疑问请提，For the lich king