Question

已知a,b,c是三角形的三条边且满足（a+b+c)²=3（a²+b²+c²）

求证这个三角形是等边三角形

Answer 1

（a+b+c)²=3（a²+b²+c²）
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=3a²+3b²+3c²
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
a²-2ab+b²+(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)=0
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
a=b=c

这个三角形是等边三角形

Answer 2

展开化简a²+b²+c²=ab+ac+bc
2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc
a²+b²-2ab+c²a²-2ac+b²+c²-2bc=0
即(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因此a=b=c

Answer 3

展开化简2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc
a²+b²-2ab+c²a²-2ac+b²+c²-2bc=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
都是平方所以a-b=0，b-c=0，a-c=0
因此a=b=c
所以这个三角形是等边三角形