Question

在平面直角坐标系xyz中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴L与X轴相交于点M.

连接AC，探索，在直线下方的抛物线上是否存在点N，是△NCA的面积最大？请写出N的坐标。图没有，麻烦自己画一下，谢啦，在线等

Answer 1

解：① 设抛物线的解析式为：y = a （x - 1）（x - 5），将x = 0时y = 4代入得a = 4/5
∴ y = 4/5 （x - 1）（x - 5）
= 4/5 x² - 24/5 x + 4
= 4/5 (x - 3)² - 16/5
该抛物线的顶点为（3，- 16/5）
② 设直线AB的解析式为y = k x + b ，将x = 0时y = 4；x = 5时y = 0代入得k = - 4/5， b = 4。
则直线AB的解析式为y = - 4/5 x + 4
③假设直线AB下方存在符合条件的点N，过点N作直线AB的平行线，可设其解析式为 y = - 4/5 x + m ， 则应有方程组 y = - 4/5 x + m 只有两个相同的解。
y = 4/5 x² - 24/5 x + 4
消元整理得： 4x² - 20x + 20 - 5m = 0 应有
△ = 80m+80 = 0
m = - 1
则过点N的平行于AB的直线为y = - 4/5 x - 1
解方程组 y = 4/5 x² - 24/5 x + 4 得： x = 5/2
y = - 4/5 x - 1 y = - 3
综上所述，存在符合条件的点N，其坐标为（5/2，- 3）

Answer 2

解：由已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0)，画出简易草图。y=a(x-x1)(x-x2),x1=1,x2=5,抛物线经过A(0,4)，得出抛物线方程为y=4/5(x-1)(x-5),即y=4/5x2-24/5x+4,

由A(0,4)，C(5,0)，根据直线方程y=ax+b，求得

a=-4/5,b=4,得直线方程y=-4/5x+4即5y+4x-20=0

设N点坐标为（x，y），在三角形NAC中，AC长一定。只要N点到直线AC距离最大即Hmax，S三角形面积S=1/2XACXH,H=5y+4x-20/√41=4x2-24x/√41，当x范围（0，5）, x=3，时H最大，此时三角形面积最大，y=16/5，所以N点坐标为（3，16/5）

Answer 3

（2/5，-3）