Question

已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R

①判断函数f(x)的奇偶性
②解关于x的不等式：f(x)>=2a^2
③设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对任意x∈R，有
f(x+k)=kf(x)成立，问是否存在实数a，使得f(x)=x|x-a|属于集合M，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
烦请写下过程。谢谢！！！

Answer 1

f(x)=x|x-a|,其中a∈R
①判断函数f(x)的奇偶性
f(-x)=-x|-x-a|
=-x|x+a|
当a=0时，f(-x)=-f(x），为奇函数；
a不=0时，f(x)非奇非偶
②解关于x的不等式：f(x)>=2a^2
f(x)=x|x-a|>=2a^2
1）x>=a时，x(x-a)>=2a^2
x^2-ax-2a^2>=0
(x-a/2)^2>=9/4a^2
x<=-3/2|a|+a/2（舍去）或 x>=3/2|a|+a/2
2）x<a时, x(-x+a)>=2a^2
x^2-ax+2a^2<=0
△<0,无解
所以解为x>=3/2|a|+a/2
③设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对任意x∈R，有
f(x+k)=kf(x)成立，问是否存在实数a，使得f(x)=x|x-a|属于集合M，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
f(x+k)=kf(x)
(x+k)|x+k-a|=kx|x-a|
两边平方[(x+k)|x+k-a|]^2=[kx|x-a|]^2
(x^2+2kx+k^2)[x^2+2(k-a)x+(k-a)^2]=k^2x^2(x^2-2ax+a^2)
对于任意x∈R恒成立。4次项系数k^2=1,k=+-1
3次项系数 2（k-a）+2k=-2ak ^2
ak^2+2k-a=0
2k=0
矛盾，不成立 。所以不存在

Answer 2

(2)若p和q是方程f(x)-g(x)=0的两根，且满足0＜P＜q＜1/a，证明设g(x)图像与x轴的交点坐标为(a，0) 又∵点(a，0)在函数f(x)的

Answer 3

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