Question

若a，b，c∈（0，+∞）且a+b+c=2，求证√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)＜4

Answer 1

令√(a+1)=A，√(b+1)=B，√(c+1)=C
A²+B²+C²=a+1+b+1+c+1=5
因为(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²≥0
所以 2(A²+B²+C²)-2(AB+BC+AC)≥0
(A+B+C)²=A²+B²+C²+2(AB+BC+AC)≤3(A²+B²+C²)=15<16
A+B+C<4
即√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)＜4

Answer 2

证明:
∵a+b+c=2
∴由柯西不等式可得
15=3×5=(1+1+1)[(a+1)+(b+1)+(c+1)]≥[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]²
即[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]²≤15＜16两边开平方可得
√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)＜4