Question

微积分的两道填空，求高手解答，需过程，谢啦。

Answer 1

第一题先对根号内部分配方
2x-x^2=1-(x-1)^2
然后换元，x-1=sin t, t∈[-pi/2,pi/2] (x-1∈[-1,1])
所以dx=cost dt
x=1+sint
根号（2x-x^2）=根号（1-sin^2 t）=cos t (t在一四象限，cos为正值，开根后不用绝对值符合)
原积分=∫[-pi/2,pi/2] (1+sint)cost*cost dt
=∫[-pi/2,pi/2] cos^2 tdt + ∫[-pi/2,pi/2] sint cos^2 t dt
=(1/2)∫[-pi/2,pi/2] (cos2t +1)dt-∫[-pi/2,pi/2] cos^2 t d(cost)
={1/2(t+1/2 sin2t)-cos^3 t/3} | [-pi/2,pi/2]
=pi/2+0-1/3*0=pi/2

第二题
先提出根号x
f(x)=根号x[(1+2/x)^{1/2}-2(1+1/x)^{1/2}+1]
然后利用等价无穷小，或者taylor展开
(1+y)^{1/2}=1+y/2-y^2/8+O(y^3) （y趋向于0）
所以(1+2/x)^{1/2}-2(1+1/x)^{1/2}+1 (2/x,1/x->0)
=1+1/x-(4/x^2)/8 - 2(1+1/2x-(1/x^2)/8)+1+O(x^3)
=1+1/x-1/2x^2-2-1/x+1/4x^2+1+O(x^3)
=-1/4x^2+O(x^3)
所以f(x)~根号x [-1/(4 x^2)]=-1/[4 x^(3/2)]
所以c=-1/4,k=3/2

Answer 2

请详细解答求解过程 感觉这两道很绕 书本上的答案很简洁感觉很难理解 多谢！！ 1, 要令Xn = n/1 设f(x) = (tanx/x)^1/x 问题就等价为