Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x （1）求f(x)的表达式

若方程f(x)-m=3x-2在区间(0,3)上总有两个不相等的实数根，确定的范围

Answer 1

f(0)=1
设 f(x)=ax²+bx
f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b
2a=2,a+b=0
a=1,b=-1
f(x)=x²-x+1

f(x)-m=3x-2
x²-x+1-m=3x-2
x²-4x+3-m=0
g(x)=x²-4x+3-m
对称轴为x=2
所以 x²-4x+3-m=0的两个根关于x=2对称，
所以只需大根<3即可
所以 g(3)=9-12+3-m<0
m>0

追问

你确定是对的？这可是考试啊？

追答

必须的，

追问

抛物线y=axw的准线方程为
?那这个是什么、？

追答

y= -1/4a

追问

那么简单？

追答

呵呵
原题的最后两步有误
所以 g(3)=9-12+3-m>0,判别式16-4(3-m)>0
m-1
所以 -1<m<0

Answer 2

设二次函数表达式y=ax^2+bx+c
f(x+1)-f(x)=2x
即
a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2x
整理得
2ax+a+b=2x
比较系数得
a=1,b=-1
二次函数y=x^2-x
f(x)-m=3x-2即x^2-x-m=3x-2
x^2-4x-m+2=0
有两个实根则
△=16-4(-m+2)>0,m>-2
x=(4±2√m+2)/2=2±√(m+2)
区间(0,3)上总有两个不相等的实数根
所以2+√(m+2)<3,2-√(m+2)>0
解得-2≤m<-1，-2≤m<2
将-2≤m<-1，-2≤m<2，m>-2取交集得m的范围是
-2<m<-1

Answer 3

(1) 由f(x+1)=f(x)+2x
得f(x)=f(x-1)+2x=f(x-2)+2*2x=.....=f(0)+x*2x
已知f(0)=1
所以f(x)=2x²+1
(2) f(x)-m=3x-2
即2x²-3x+3-m=0
设g(x)=2x²-3x+3-m
是开口向上的抛物线
对称轴x=3/4在(0,3)之间
满足条件只需
g(3/4)<0 g(0)>0 g(3)>0
即9/8-9/4+3-m<0 m>15/8
3-m>0 m<3
18-9+3-m>0 m<12
综上：15/8<m<3

Answer 4

设f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=1,所以c=1
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c
=2ax+b+1
=2x
所以2a=2,b+1=0
所以a=1,b=-1,
解得f(x)=x^2-x+1。请点击“采纳为答案”

Answer 5

设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）
已知，f(0)=1
所以，c=1
所以，f(x)=ax^2+bx+1
则，f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax^2+(2a+b)x+(a+b+1)
所以：f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)=2x
上式对任意x∈R均成立
所以：2a=2，a+b=0
所以，a=1，b=-1
则，f(x)=x^2-x+1.