Question

★★21、（2010黄冈）已知抛物线 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P

★★21、（2010黄冈）已知抛物线 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，

Answer 1

1、这类题简单解法。过原点，就是把（0,0）带入函数，可以得到c=0，顶点（1,1）可以设抛物线为y=a(x-1)²+1,展开y=ax²-2ax+a+1,和ax²＋bx+c恒等，可以得到a+1=c=0,a=-1.b=-2a=2.所求抛物线解析式为y=-x²+2x.
2,先弄清几个点。F（1，3／4）不在曲线上。M点坐标设为（m，5／4），P点和M点横标一样，P（m，-m²＋2m）,PM的中点N在以MP为底边等腰的三角形中很特殊，N的纵标和F的纵标一样，就是3／4，同时N是MP中点，M的纵标+P的纵标=2N的纵标，即5／4+P的纵标=2×3／4，
P的纵标=1／4,可得出P的横标=1+√3／2。要想证明三角形为正三角形，只要证明FP=PM就行。MP=5／4-1／4=1，FP=√[（3／4-1／4）²＋（1-1-√3／2）²]=1。所以FP=PM=MF=1，这是一个正三角形。
3、先设存在，P(m,-m²+2m).N(1,t),M(m,5／4)
PM²=（-m²＋2m-5／4）²
PN²=(m-1)²+(-m²+2m-t)²
二者相等得1.5m²-3m+9／16=t²+(2m²-4m)t
显然t=3／4时上式成立。故所求点存在为（1，3／4）。

Answer 2

1）由于抛物线过原点所以c=0，
把（1,1）代人顶点坐标(-b/2a,（4ac-b*b)/4a）中，结合抛物线开口方向解得a=-1，b=2
（2）因为三角形PFM是等腰三角形，则PF=MF，则F点的纵坐标是M点和P点纵坐标的一半，即P点纵坐标y=1/4，又因为P点在抛物线上，代人方程中解得x=1+二分之根号3，则P（1+二分之根号3，1/4），根据两点坐标公式求出
PM=5/4-1/4=1，FP=1
所以是正三角形。
（3）假设存在。
PN=根号{（x-1）*（x-1）+（y-t）*（y-t）}=1
与y=-x*x+2x联立求得t=0即t（1，0）满足条件。

Answer 3

题目都没写完整。