R是集合X上的一个自反关系，求证:R是对称和传递的，当且仅当<a,b>和<a,c>在R中有<b,c>在R中 20
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证明 设R是集合X上的一个自反关系,如果R是X上对称和传递的,则当任意a,b,c∈X,
若有<a,b>∈R且<a,c>∈R
则 <b,a>∈R且<a,c>∈R
故得 <b,c>∈R
反之,由<a,b>∈R,<a,c>∈R,必有< b,c>∈R,
则对任意a,b∈X,
若<a,b>∈R，
因R是集合X上的一个自反关系，有<a,a >∈R,
则得到< b,a >∈R,
故R是对称的。
若<a,b>∈R且< b,c>∈R,
则< b,a >∈R∧< b,c>∈R,所以
<a,c>∈R,即R是可传递的。
若有<a,b>∈R且<a,c>∈R
则 <b,a>∈R且<a,c>∈R
故得 <b,c>∈R
反之,由<a,b>∈R,<a,c>∈R,必有< b,c>∈R,
则对任意a,b∈X,
若<a,b>∈R，
因R是集合X上的一个自反关系，有<a,a >∈R,
则得到< b,a >∈R,
故R是对称的。
若<a,b>∈R且< b,c>∈R,
则< b,a >∈R∧< b,c>∈R,所以
<a,c>∈R,即R是可传递的。
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