Question

如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,- 3),

（2009•永州）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，- 3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

设二次函数y=ax^2+bx+c
因该函数经过点C(0,-3)，则c=-3
又该函数经过点A(-1，0)，函数一根为-1，它的对称轴为直线X=1，则另一个根为3
代入两根，则a=1， b=-2， 二次函数的解析式y=x^2-2x-3；

直线BC y=x-3
点F的坐标（m，m-3），点P的坐标（m，m^2-2m-3）
线段PF的长=m-3-（m^2-2m-3）=3m-m^2

△PBC面积，边BC长度固定，故△PBC面积取最大值时，点P到BC的距离最大
过点P做垂直BC的线，交BC于点D，则形成直角三角形PFD，PF为斜边，因直线BC
的斜率为1，角PFD=45度，线段PD=（3m-m^2）/（根号下2），
当m=1.5时，线段PD取最大值
此时点P的坐标（m，m^2-2m-3）为（1.5，3.75）

Answer 2

⑴∵B,A关于对称轴 x＝1 对称 ∴B﹙3,0﹚
设所求解析式为 y＝a﹙x＋1﹚﹙x－3﹚,由C﹙0,﹣3﹚在抛物线上
∴﹣3＝a﹙0＋1﹚﹙0－3﹚
∴a＝1
∴该二次函数的解析式为 y＝x－2x－3
⑵设PF交 x 轴于E, 则E﹙m,0﹚,∵直线BC的解析式为 y＝x－3
∴PF＝m－3－﹙m－2m－3﹚＝﹣m＋3m
⑶设过P且与BC平行的直线为 y＝x＋b
由 y＝x－2x－3和 y＝x＋b 消去 y 并整理得
x－3x－3－b＝0
令Δ＝﹙﹣3﹚－4﹙﹣3－b﹚＝0,得 b＝﹣21／4
从而得 x＝3／2,y＝﹣15／4 即P﹙3／2，﹣21／4﹚