Question

求下列函数的值域 （1）y=1/2^(x^2-2) (2) y=3^(-x),x∈[-2,2）(3) y=3^x/3^x +1 (4)y=(1/4)^x,x∈[-1,2]

Answer 1

(1) y=(x^2+2x+3)/x^2
=1+1/x+3/x^2
令t=1/x,得
y=1+2t+3t^2>=(4*3*1-2*2)/(4*3)=2/3
(2)y=(x^2-3x+4)/x
=x-3+4/x=x+4/x-3
x>0时,y>=2*√(x*4/x)-3=4-3=1
x<0时，y<=-4-3=-7
(3)y=3x/(2x^2-1), x∈[2,4]
设x1<x2
3x1/(2x1^2-1)-3x2/(2x2^2-1)
=[3x1(2x2^2-1)-3x2(2x2^2-1)]／[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]
=[6x1x2^2-6x1^2x2+3x2-3x1]/[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]
=[6x1x2(x2-x1)+3(x2-x1)]/[(2x1^2-1)(2x2^2-1)]>0
在[2,4]是减函数，所以：12/31≤y≤6/7
(4)y=(x+1)/(x^2+x+1)
=1/[x+1+1/(1+x)]
x+1>0时，x+1+1/(x+1)>=2，y<=1/2
x+1<0 时， 同理， y>=-1/2
x+1=0 时 y=0
y∈[-1/2,1/2]//
(5)y=(2x^2-x-1)/(x^2+x+1)
yx^2+yx+y=2x^2-x-1
(y-2)x^2+(y+1)x+(y+1)=0
x为实数Δ≥0
（y+1)^2-4(y+1)(y-2)≥0
(y+1)(y+1-4y+8)≥0
(y+1)(-3y+9)≥0
(y+1)(y-3)≤0
-1≤y≤3