Question

已知函数f(x)=(x/a-1)^2+(b/x-1)^2 x∈D 0<a<b

(1)D=(0,+∞）时，设t=x/a+b/x f(x)=g(t) 求y=g(t)的解析式及定义域
（2）D=(0,+∞）时，a=1 b=2 求f(X)的最小值
（3）若f(a)≥（2^m）-1对任意0<a<b恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=(x/a-1)^2+(b/x-1)^2=(x/a+b/x)^2-2(x/a+b/x)-2b/a+2=g(t)。
g(t)=t^2-2t-2b/a+2。
(2)f(x)=(x+2/x)^2-2(x+2/x)-2=(x+2/x-1)^2-3。
x+2/x-1的最小值是2√2-1。
所以，f(x)的最小值=(2√2-1)^2-3=6-4√2。
(3)f(a)=(b/a+1)^2-2(b/a+1)-2b/a+2=(b/a+1)^2-4(b/a+1)+4=(b/a-1)^2>=2^m-1
0<a<b，b/a>1，b/a-1>0，f(a)>0。
2^m-1<=0，m<=0。