Question

一道数学题 需要详细解释 不要复制粘贴

在△ABC中C1,C2是AB边上的三等分点,A1,A2,A3是BC边上的四等分点.AA1与CC1交与点B1，CC2与C1A2交与点B2，计△AC1B1,△C1C2B2,△C2BA3的面积为S1,S2,S3.若S1+S3=9,S2=?
只要告诉我为什么s1是ACC1的二分之一，s2是CC1C2的三分之一
分还可以追加！！

Answer 1

先回答你的补充问题。三角型的面积算式是底边长乘上高再除以二对吧？也就是说，当我们知道两个三角型的底边长和高的比例的时候，就可以算出两个三角型的面积比例。

第一个问题：S1是三角型AB1C1的面积，，那么三角型AB1C1和三角型ACC1的关系是什么呢？以边AC1为底，可以看出它们两个（你可以读成三角型CAC1和三角型B1AC1）是同底三角型。其中，小三角型的一个边B1C1还落在大三角形的一个边CC1上。现在我们在三角型CC1A2中观察这两个边的关系。我们知道A1,A2,A3是边BC的四等分点，也就是说CA1=A1A2=A2A3=A3B,现在只要用到CA1=A1A2,也就是说，在三角形CC1A2中，A1点是边CA2的中点；再来观察A1AB这个三角形，我们知道C1,C2是边AB的三等分点，也就是说AC1=C1C2=C2B，又有前面说过的A1A2=A2A3=A3B，我们可以发现，在三角形BA1A中，A3C2,A2C1,A1A这三条线是平行的，对吧？根据平行线的相关原理（具体名字我忘了，但书上肯定会有的）由于AA1与C1C2平行，也就是说，线段A1B1与A2C1平行，又有，在三角形CC1A2中，A1是边CA2的中点，那么可以得出，B1也是线段CC1的中点。
到这里再回到三角形CAC1和三角形B1AC1中来，这一大一小两个三角形，同底边，又有另外一个边互为二分之一的关系（B1C1是CC1的一半），那么根据三角形面积的算式，可以得出，三角形B1AC1的面积（即S1)是三角形CAC1的一半。（如果你觉得直接用边的比例做面积的比例不够详细的话，也可以通过做垂线求高的比例计算的方法来推理，同样利用平行线的相关理论，在这里就不赘述了）。

第二个问题，为什么S2是CC1C2的三分之一：有了前面那一段推论，相信你已经知道，S2，即三角形B2C1C2的面积与三角形CC1C2的面积的比例计算方法，由于它们两个也是同底三角形，只要推算出边的比例关系就可以。我们同样利用平行线的原理。现在看三角形CC2A3，我们设线段CC2与线段AA1相交于点O，那么，在三角形CC2A3中，很明显看出，由于线段OA1,B2A2,C2A3的平行关系，加上CA1=A1A2=A2A3，可以得出，O和B2是线段CC2的三等分点即，B2C2的长度是CC2的三分之一。那么利用与前面推理相似的方法，由于三角形B2C1C2与三角形CC1C2同底边，又有另一个边的长度互为三分之一的关系，利用做垂线再通过平行线推算三角形高比例的方法也可以算出，三角形B2C1C2的面积（即S2)是三角形CC1C2的三分之一。

现在来看整个题目。
我们利用与前两次计算三角形比例一模一样的套路，也可以得出，S3等于三角形CC2B面积四分之一的结论，具体方法不再赘述。
由于三角形CAC1,CC1C2,CC2B底边重合于同一直线AB，且顶点重合（即这三个三角形的高为同一条线段）,又，它们三个的底边存在相等关系（AC1=C1C2=C2B），可知这三个三角形面积相等。我们设它们的面积值为S，则由前面所述的推理，可知S1=1/2S,S2=1/3S,S3=1/4S,又有，S1+S3=9，可以算出S值为12，则S2应为4。

述我多嘴说一句，老师给学生出这种题目其实不大可取，因为整个题目翻来复去考察的都是一个知识点，只是利用过多的线段和交点，把学生的眼睛和思维搞乱，没有多大的意义。一道好的题目应该是能考察学生多个知识点和综合分析能力，而不应以考倒学生为目标，这是废话，看看也就罢了。

Answer 2

就利用相似三角形可以做这道。
△AC1B1和△AC1C同底，分别做两个三角形的高垂直于AB，则两个直角三角形相似，因为C1B1：C1C=1:2，所以s1是ACC1的二分之一
同理，s2是CC1C2的三分之一，用同样的方法也可以得到了。