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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第43章 开放型问题
1. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分
⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为 ，测出飞机在B处对山顶的俯角为 ，测出AB的距离为d，连接AM，BM．
⑵第一 步，在 中， ∴
第二步，在 中， ∴
其中 ，解得 ．
2. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所 以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
（1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ，
则 ， ， .
∵ ，∴ .2分
∴ ， .
∴ . 4分
（2）证明：作 ∥ 交 于点 ，5分
则 ， .
∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .∴ .7分
∴ .8分
3. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N， 将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．
（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
（备用图）
【答案】 解：∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．
∴∠MNK=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,
由（1）知∠KNM=∠KMN．
∴MK=NK．
又MK≥ME,
∴NK≥1．
∴ ．
∴△MNK的面积最小值为 ，不可能小于 ．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM =5-x，由勾股定理，得
,
解得， ．
即 ．
∴ ． （情况一）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得
即 ．
∴ ．
∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）
4. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A BC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明 ：BE＝AE＋CD．
【答案】（1）证明：连 接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，
∴AB＝BC.
（2）证明：过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.
∴CD＝EF.
∵∠ABE＋∠BAE＝ 90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF.
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.
4. （2011湖北襄阳，21，6分）
如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①.
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答 ） ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.
【答案】（1）①② ③；①③ ②；②③ ①.3分
（2）（略）6分
第43章 开放型问题
1. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分
⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为 ，测出飞机在B处对山顶的俯角为 ，测出AB的距离为d，连接AM，BM．
⑵第一 步，在 中， ∴
第二步，在 中， ∴
其中 ，解得 ．
2. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所 以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
（1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ，
则 ， ， .
∵ ，∴ .2分
∴ ， .
∴ . 4分
（2）证明：作 ∥ 交 于点 ，5分
则 ， .
∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .∴ .7分
∴ .8分
3. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N， 将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．
（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
（备用图）
【答案】 解：∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．
∴∠MNK=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,
由（1）知∠KNM=∠KMN．
∴MK=NK．
又MK≥ME,
∴NK≥1．
∴ ．
∴△MNK的面积最小值为 ，不可能小于 ．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM =5-x，由勾股定理，得
,
解得， ．
即 ．
∴ ． （情况一）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得
即 ．
∴ ．
∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）
4. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A BC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明 ：BE＝AE＋CD．
【答案】（1）证明：连 接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，
∴AB＝BC.
（2）证明：过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.
∴CD＝EF.
∵∠ABE＋∠BAE＝ 90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF.
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.
4. （2011湖北襄阳，21，6分）
如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①② ③；①③ ②；②③ ①.
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答 ） ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.
【答案】（1）①② ③；①③ ②；②③ ①.3分
（2）（略）6分
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